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Cuándo puede un suma y la integral del ser intercambiados?

Digamos que tengo $\int_{0}^{\infty}\sum_{n = 0}^{\infty} f_{n}(x)\, dx$ $f_{n}(x)$ funciones continuas. Cuando se puede intercambiar la integral y la suma? Es $f_{n}(x) \geq 0$ todos los $x$, y para todos los $n$ suficiente? ¿Cuándo $\sum f_{n}(x)$ converge absolutamente? Si es así ¿por qué?

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Reto Meier Puntos 55904

Me gusta recordar esto como un caso especial de la Fubini/Tonelli teoremas, donde las medidas que se están contando medida en $\mathbb{N}$ y la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}$ (o $[0,\infty)$ como has escrito aquí). En particular, Tonelli del teorema dice que si $f_n(x) \ge 0$ todos los $n,x$, $$\sum \int f_n(x) dx = \int \sum f_n(x) dx$ $ sin más condiciones necesarias. (También puede probar esto con la monotonía teorema de convergencia.)

Entonces el teorema de Fubini dice que por general $f_n$ si $\int \sum |f_n| < \infty$ o $\sum \int |f_n| < \infty$ (por Tonelli las dos condiciones son equivalentes)$\int \sum f_n = \sum \int f_n$. (También puede probar esto con el teorema de convergencia dominada.)

No puede ser más débil de las condiciones suficientes, pero estos tienden a funcionar en el 99% de los casos.

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Shaun Austin Puntos 2512

Este es un teorema que se va a trabajar:

Teorema. Si $\{f_n\}_n$ es una secuencia de funciones integrables y $f = \sum_n f_n$ $$\int f = \sum_n \int f_n.$$

Prueba. Considerar la primera de dos funciones, $f_1$$f_2$. Ahora podemos encontrar secuencias de $\{\phi_j\}_j$ $\{\psi_j\}_j$ (no negativo) funciones simples por un teorema básico de la teoría de la medida que aumentan a $f_1$ $f_2$ respectivamente. Obviamente $\phi_j + \psi_j \uparrow f_1 + f_2$. Podemos hacer lo mismo para cualquier suma finita.

Tenga en cuenta que $\int \sum_1^N f_n = \sum_1^N \int f_n$ para cualquier finito $N$. Ahora, usando el teorema de convergencia monótona tenemos

$$\sum \int f_n = \int f.$$

Nota 1: Si usted está hablando acerca de las funciones positivas de convergencia absoluta es la misma que la normal de convergencia $|f_n| = f_n$.

Nota 2: funciones Continuas, por supuesto, serán integrable si tienen soporte compacto o tienden a $0$ lo suficientemente rápido como $x \to \pm \infty$.

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