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El cálculo de la entropía de un solo átomo

Yo solía pensar que la entropía de un solo átomo no puede ser calculado, en mi mente sólo la entropía de un sistema que contiene muchos átomos podrían ser calculado. Pero mi profesor me dijo que la entropía de un solo átomo tiene sentido, sin decirme el por qué. Pero no puedo encontrar los papeles de introducir el método concreto de cómo calcular la entropía.

En realidad estamos trabajando en un proyecto pequeño tratando de calcular el cambio de entropía durante el Doppler de refrigeración y Sísifo de refrigeración. Como un estudiante de segundo año, no podemos considerar un sistema muy complicado, así que nos decidimos a calcular el promedio de cambio de entropía cuando el sujeto es sólo un átomo. (a pesar de que el estado final del átomo es aleatorio, podemos hacer una expectativa.) Pero ahora estamos confundidos por el cambio de entropía del átomo, ya que no sabemos la definición de la entropía en una situación semejante.

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SkyBeam Puntos541

La entropía de un solo átomo no tiene sentido per se, a menos que se especifique la preparación. La entropía de un solo átomo aislado, fija en un punto, es, de hecho, no se define – la entropía es, después de todo, una propiedad de un conjunto , no de un sistema. La entropía de un conjunto de átomos aislados preparado en una energía específica, por otro lado, está bien definido (esto sería un microcanonically preparado conjunto de átomos).

Si usted permite que los átomos en el conjunto de volar en un cuadro (para aclarar: el conjunto se compone de muchas cajas, conteniendo cada uno un átomo), la dominante de la entropía a bajas temperaturas será simplemente la de un gas ideal (como el discreto energías de excitación del átomo será grande en comparación con la temperatura, pero la traducción grados de libertad son fácilmente accesibles).

En la siguiente esta respuesta sólo discutir el caso, donde el átomo está fija en el espacio (o no se preocupan por el "aburrido" de traslación grados de libertad).

Mientras que para los grandes sistemas de la termodinámica observables de acuerdo en los diferentes conjuntos (microcanoical, canónica, grandcanonical), esto no es cierto para los sistemas pequeños, por lo que la entropía de asignar el átomo depende del conjunto.

Grandcanonical preparación no tiene sentido para un solo átomo (no hay ninguna partícula número de grados de libertad). Así que seguimos con la microcanonical y el ensemble canónico.

El microcanonical conjunto fue mencionado anteriormente, pero no describe una situación interesante con los átomos individuales – no hay ninguna altamente estados degenerados en un átomo (a menos que permitir que las energías por encima de la energía de enlace del átomo – pero, entonces, el sistema apenas cuenta como un átomo). Así que usted no puede incluso definir una temperatura (ya que esto requiere que el $\partial_E S$ está bien definida y cantidad).

El ensemble canónico en el otro lado no corresponde a una situación física – un conjunto de átomos individuales, junto a un baño termal. Esto puede ocurrir, por ejemplo, como una idealización de un átomo en una diluir el gas (si sólo estamos interesados en los grados internos de libertad). Ahora podemos calcular fácilmente todos los termodinámico observables, dado el Hamiltoniano $H$ del átomo ($\beta := 1/T$ es la inversa de la temperatura, $k_B = 1$): \begin{align*} Z &= \mathrm{Tr}\ e^{-\beta H} \\ F &= -T \ln Z \\ S &= -\partial_T F \\ E &= F + TS \end{align*}

Comentarios

  1. Tenga en cuenta que las cantidades depende sólo de $T$ ya que no hay volumen del sistema (consideramos que un solo átomo fija en el espacio) o de partículas, por lo tanto no podemos definir el potencial químico o la presión. Para enriquecer la teoría, uno podría ir a discutir la dependencia en algo parecido a un campo magnético externo (que se conjuga con la magnetización).
  2. Para que no interactúan las partículas de estas fórmulas puede ser escrita en términos de las energías de las partículas individuales autoestados. Entonces uno puede fácilmente obtener una fórmula explícita para la entropía.
  3. Es una cuestión de idioma, si decimos que "la entropía de un solo átomo" está definido. Técnicamente, es la entropía de un conjunto de átomos individuales. La entropía es después de todo la propiedad de un conjunto. Pero por lo general operan bajo la suposición de que los promedios de tiempo y de conjunto, los promedios son de la misma – en este sentido, podemos a mano wavingly considerar el átomo en diferentes momentos como nuestro conjunto de átomos y hablar de la entropía del átomo.

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gatsu Puntos3557

Antes de hablar acerca de la entropía, tenemos que discutir cuáles son los posibles estados de un átomo puede estar en. Voy a empezar por el caso más general que consiste en considerar un solo átomo de gas en un cuadro 3D. En ese caso, el microestado del átomo está descrito por:

  • El definitivo impulso lineal estados $| \textbf{k} \rangle$ del átomo (que son vectores propios de la hamiltoniana)

  • Su estado interno que se caracteriza por una lista de números cuánticos como $|n, \ell, m_{\ell}, s, m_s \rangle$

Si no hay suficiente energía en el sistema para excitarlo de su estado fundamental, a continuación, sólo su impulso asuntos de estado para calcular sus propiedades estadísticas, si además la longitud de onda de de Broglie de un átomo es pequeño comparado con el tamaño de la caja (o el tamaño de la reclusión de algunas técnicas de enfriamiento), entonces el átomo de estados puede ser explicada por la posición del centro de masa del átomo en el espacio de fase $(\textbf{r}, \textbf{p})$.

Cuando se realiza con láser de enfriamiento de un gas, una gran parte tiene que ver, al menos al principio, con una disminución en la dispersión de la velocidad, por la definición de refrigeración. Eso es porque el gas de refrigeración (en el contexto de átomos fríos) en primer lugar se realiza teniendo cuidado de que el (clásico) el impulso de la dispersión mediante la aplicación de una fuerza en la dirección opuesta a la del gas jet/ atómica de la viga. Que es el principio de muchas láser de refrigeración o de la fuente de dispositivos como por lo menos.

En general, si la densidad del gas es considerado sin cambios durante el enfriamiento y los cambios de temperatura de $T_h$$T_c$, entonces se puede esperar un cambio de entropía por átomo que está bien aproximada por:

\begin{equation} \Delta S = -\frac{k_B}{2}\ln \frac{T_h}{T_c} \end{equation}después de ser enfriado por debajo de $T_h$$T_c$.

Tenga en cuenta que he puesto $k_B/2$ en lugar de $3k_B/2$, que es debido a que en la mayoría de los preparativos sé, molecular derrame se utiliza para generar el rayo inicial de átomos. Un rayo tiene por lo general un bajo estadísticos de dispersión en las direcciones perpendiculares a la de jet eje (y por lo tanto de alguna manera a temperaturas más bajas para los grados de libertad) y por otra parte, estos grados de libertad son vírgenes por láser estándar de refrigeración o gravitacional fuentes.

Por supuesto, una vez que la etapa de captura de los gases se produce por la combinación de, digamos, los láseres y los campos magnéticos, entonces habría que agregar de nuevo este factor de 3, sino también para, finalmente, tomar en cuenta los efectos cuánticos: discreto del impulso del espectro cuántica y la fermonic o bosonic estadísticas lo suficientemente bajas temperaturas.

Observación 1: Mientras que el rayo se está enfriando en la primera etapa, también se podría añadir que hay un ligero aumento de la entropía debido a la dispersión de gas en la dirección perpendicular a la viga del eje. No he contabilizado en la fórmula que he dado.

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