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¿Pueden los eigenstates de impulso no ortogonales?

Considerar el espacio de Hilbert de una partícula cuya posición de dominio se limita a $q\in[0,1]$ (por ejemplo, una partícula en una caja con la unidad de anchura). El uso de $$ 1=\int_0 ^1 dq |q\rangle\langle p| $$ y la posición de la representación de la discreta impulso autoestados $$ \langle p | p_n\rangle=e^{i\pi n q}, $$ la inserción de la anterior identidad del operador y la integración conduce a que el producto escalar $$ \langle p_n|p_m\rangle=\frac{(-1)^{m n}-1}{i\pi(m-n)}\neq\delta_{nm}. $$

Esto significaría que el eigenbasis de un físico observable no es ortogonal. Hay un error en mi derivación, y si no, ¿cómo puede esto ser entendido físicamente?

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Alice Kirkpatrick Puntos 21

Esto significaría que el eigenbasis de un físico observable no es ortogonal. Hay un error en mi derivación, y si no, ¿cómo puede esto ser entendido físicamente?

El conjunto de funciones propias de $\hat p$, en el sentido de $$ \hat{p}\phi = p\phi $$ es seguro que será ortogonal si pertenecen a un subconjunto de a $L^2((0,1))$ en el que el operador $\hat{p}$ es simétrica, lo que significa

$$ \int_0^1 \phi_1^* \hat{p} \phi_2dq = \int_0^1 (\hat{p}\phi_1)^* \phi_2 dq $$ para cualquiera de las dos funciones del subconjunto.

El impulso operador $\hat{p} = -i\hbar \partial/\partial q$ $(0,1)$ es simétrica sólo para el subconjunto de las funciones propias $e^{ipq/\hbar}$ que obedecer favorable condición de frontera (con el justo valor de $p$ - ver Ruslan respuesta) este subconjunto de eigenfuncitons es ortogonal y forma una base del subconjunto.

Para la mayoría de las funciones propias $e^{iqp/\hbar}$, sin embargo, el operador $\hat{p}$ no es simétrica y no hay ortogonalidad.

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Mark Elliot Puntos 31871

El impulso es ser conservada si el Hamiltoniano tiene simetría traslacional. Habitual de las condiciones de contorno como homogénea de Dirichlet o Neumann condiciones no permiten dicha simetría. Pero todavía hay condiciones específicas, que permiten el Hamiltoniano tener simetría traslacional en el acotado de dominio: Born-von Karman las condiciones de contorno.

Así, en el cuadro de $q\in[0,1]$ el impulso operador $\hat p=-i\partial_q$ es auto-adjunto si el uso de Born-von Karman las condiciones de contorno, es decir, condiciones de periodicidad de la función de onda: $$\psi(0)=\psi(1),$$ $$\psi'(0)=\psi'(1).$$

Entonces se tiene un conjunto de funciones propias ortonormales

$$\phi_p(q)=e^{ipq}$$

con $p=2\pi n.$

Cualquier otra de las condiciones de contorno no te dan ortogonal de funciones propias. De hecho, la segunda condición es extraño porque el operador es la derivada de primer orden, por lo que eigenequation $\hat p\phi(q)=p\phi(q)$ es de primer orden de la ecuación diferencial, que tiene sólo un parámetro libre. Esta es una de las razones por las que no se puede imponer habitual de dos condiciones de contorno como en Dirichlet o Neumann caso.

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