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¿Por qué una línea recta es la distancia más corta entre dos puntos?

La primera aplicación El cálculo de las variaciones me mostró que la distancia más corta entre dos puntos es una línea recta. Definir una función que mide la longitud de una curva entre dos puntos: $$ I(y) = \int_ {x_1}^{x_2} \sqrt {1 + (y')^2}\, dx, $$ aplica la ecuación de Euler-Langrange, y Bob es tu tío.

Hasta ahora todo bien, pero luego empecé a pensar: Esa función se derivó de la división de la curva en (infinitesimal) - espere - líneas rectas, y la suma de sus longitudes, y cada longitud fue definido como la distancia euclidiana entre sus puntos finales*.

Por lo tanto, me parece que la prueba, aunque correcta, no tiene sentido. Es una consecuencia obvia de los hechos que (a) la norma euclidiana satisface la desigualdad del triángulo y (b) la longitud de una curva se definió como una suma de normas euclidianas.

Poniéndome un poco filosófico, conjeturaría que probar que la distancia más corta entre dos puntos es una línea recta es mirar las cosas al revés. Tal vez una mejor manera sería decir que la geometría euclidiana fue diseñado para ajustarse a nuestra experiencia sensorial del mundo físico: la longitud de la cuerda que une dos puntos se minimiza al estirar la cuerda, y en ese punto, resulta que se ve/siente recta.

Me pregunto si la gente estaría de acuerdo con esto, y espero que pueda obtener algunos conocimientos adicionales o más profundos. Tal vez una pregunta interesante para tratar de profundizar sería: ¿por qué una cuerda estirada se ve y se siente recta ?


*: Para ilustrar más mi punto, imagina que hubiéramos elegido definir la longitud de una línea como la La distancia de Manhattan entre sus puntos finales. Podríamos integrarnos de nuevo, y esta vez resultaría que la longitud de cualquier La curva entre dos puntos es la distancia de Manhattan entre esos puntos.

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el ejemplo que ya conoces es que el camino más corto entre dos puntos de la esfera unitaria estándar es un arco de círculo máximo. Si eres un insecto suficientemente pequeño que camina sobre la esfera, todo parece ser una línea recta. Varias culturas en la historia han creído que la tierra es plana. Esto demuestra que

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Hay que definir lo que significa "verse y sentirse derecho".

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@AJStas Ese es mi punto: ¿intentar definir esto tiene algún sentido? Si decimos "recta es cuando la longitud es igual a la distancia euclidiana entre los puntos extremos", volvemos a la casilla de salida (¿y qué es un cuadrado? :)).

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abalter Puntos 218

Creo que una forma más fundamental de abordar el problema es hablar de las curvas geodésicas en la superficie que llamas hogar. Recuerda que la ecuación geodésica, aunque es equivalente a la ecuación de Euler-Lagrange, puede derivarse simplemente considerando diferenciales, no extremos de integrales. La ecuación geodésica surge exactamente al encontrar la aceleración, y por tanto la fuerza por las leyes de Newton, en coordenadas generalizadas.

Ver la guía Schaum Dinámica Lagrangiana de Dare A. Wells Ch. 3, o Vector and Tensor Analysis de Borisenko y Tarapov problema 10 en la P. 181

Así, fijando la fuerza igual a cero, se encuentra que la trayectoria es la solución de la ecuación geodésica. Así pues, si definimos que una línea recta es la que toma una partícula cuando no hay fuerzas sobre ella, o mejor aún, que un objeto sin fuerzas toma el camino más rápido, y por tanto más corto, entre dos puntos, entonces walla, la distancia más corta entre dos puntos es la geodésica; en el espacio euclidiano, una línea recta tal y como la conocemos.

De hecho, en la página 51 Borisenko y Tarapov demuestran que si la fuerza es tangente en todas partes a la curva de desplazamiento, entonces la partícula también se desplazará en línea recta. De nuevo, aunque haya una fuerza sobre ella, mientras la fuerza no tenga una componente perpendicular a la trayectoria, una partícula viajará en línea recta entre dos puntos.

Además, en cuanto a la intuición, este es también el camino del menor trabajo.

Por lo tanto, si estás de acuerdo con la definición de una derivada en una métrica dada, entonces puedes encontrar las curvas geodésicas entre puntos. Si defines las derivadas de forma diferente, y por tanto las transformaciones de coordenadas de forma diferente, entonces es otra historia.

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¿"Voila", quizás? :-) (O tal vez lo que querías hacer era eso).

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@BrianTung: seguramente querías decir "voilà".

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@TonyK: Jaja, sí. Sospecho que en ese momento no sabía hacer eso en la máquina en la que estaba, o posiblemente no me importaba. :-) Dejé abierta la posibilidad de que abalter se refiriera a eso, porque en alguna ocasión se me ha dado por escribir o decir un "ett voylah" muy americanizado en tono de burla.

5voto

proy Puntos 752

Permítame empezar diciendo que, a nivel visceral, estoy de acuerdo con todo lo que ha dicho. Pero siento que debo exponer este argumento de todos modos, ya que podría ayudarte (¡y ayudarme!) a ordenar las ideas sobre el asunto.


No parece incoherente argumentar que el modelo de espacio euclidiano (definido por, digamos, los axiomas de Hilbert) como $\Bbb R^n$ realmente se evitan todas las cuestiones filosóficas. Podemos preguntarnos por qué $\Bbb R$ y demás, pero tomado como un objeto en sí mismo, el producto interior estándar lo define todo, desde la geometría hasta la topología y la noción de tamaño.

Desde este punto de vista, la integral que mencionas puede tomarse como la definición de "longitud" de una curva (en $\Bbb R^2$ creo), observando que coincide con la medida de Lebesgue cuando la curva considerada viene dada por una transformación afín (aunque esto es formalmente irrelevante). La definición está motivada no por la descomposición en líneas rectas, sino en vectores, que tienen una definición diferente de longitud (esto no me preocupa mucho: sólo es un deseo que utilicemos el mismo término para cada uno). La noción de "línea" en sí misma surge como una pregunta bastante natural: ¿cuál es el ínfimo de la longitud entre dos puntos y, si es así, existe realmente una curva que lo alcance? Una vez que se ve que no sólo la respuesta es "sí", sino también "y es única", no es muy difícil pensar que vale la pena añadir estos objetos a nuestra comprensión básica del espacio.

En cuanto a la observación de elegir la distancia de Manhattan: nada te impide hacerlo, pero si prefieres que ésta sea tu norma (que bien podrías, por las razones que has descrito anteriormente), entonces pierdes todos los aspectos de la geometría relacionados con los ángulos. También pierdes la unicidad de las curvas de longitud mínima, y quizás entonces te interese menos la cuestión. Desde la perspectiva omnisciente, podríamos ver esto como una tragedia, una pérdida aceptable, o incluso como una ganancia. Esta objeción, así como el comentario de Will Jagy, sólo parecen poner de manifiesto la flexibilidad que tenemos en cuanto a los formalismos a utilizar.

Su otra pregunta es, por supuesto, mucho más difícil de responder, pero creo que una buena reducción de la pregunta es "¿Qué hace $\Bbb R^3$ el modelo más físico?" La pregunta es especialmente interesante teniendo en cuenta que $\Bbb R^3$ es ciertamente no un modelo completo del espacio para la física real Pero no creo que te tomen en serio si intentas argumentar que el universo no es un múltiple. Por alguna razón, (subconjuntos abiertos de) $\Bbb R^n$ es localmente "casi correcto".


Esto es sólo yo hablando de ya sabes dónde: Podría ser que la razón por la que tenemos intuiciones tan fuertes sobre la rectitud y la distancia se deba a presiones evolutivas. Las personas que podían intuir cómo ir de un lugar a otro de forma eficiente no quemaban las calorías innecesarias, y en un mundo menos protegido esto podría ayudarles a alcanzar la edad de viabilidad sexual. Una vez que empezáramos a pensar de forma inductiva, se nos permitiría pensar en la noción de heterosexualidad para siempre, y como una construcción general en lugar de una característica situacional. Pero para entonces sería demasiado tarde para enderezar la confusión de la rectitud y la linealidad, y tendríamos que esperar mucho tiempo antes de poder hacerlo con algún rigor.

0voto

Ahmed hegazi Puntos 154

mi intento utilizando las ecuaciones de Euler-lagrange :

$$let \ the \ line \ between\ two\ points\ S\\ \\ \\ \therefore s=\int_{x_{1}}^{x_{2}}ds\ \ \ \ \ ,\ \ \because \ (ds)^2=(dx)^2+(dy)^2\\ \\ \\ \therefore ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}\ dx\\ \\ \\ \therefore S=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\sqrt{1+y'^2}\ dx\ \ \ \ \ ,\ \ let\ F=\sqrt{1+y'^2}\\ \\ \\$$

ya que la condición para ser límite S min es :

$$\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y'})=\frac{\partial F}{\partial y}$$ $$**EULER -LAGRANGE\ EQUATION**$$ ahora encontramos $$\\because \ \frac{\partial F}{\partial y}=0 \ \ \ \ , \frac{\partial F}{\partial y'}=\frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}\\$$ \

$$\therefore \frac{d}{dx}\left ( \frac{\partial F}{\partial y'} \right )-\frac{\partial F}{\partial Y}=0\ \ \ \ \ \Rightarrow \frac{d}{dx}\left ( \frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}} \right )=0\\$$ \ \ $$\therefore \frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}=c\ \ \ \ \ \ \Rightarrow y'^2=c^2(1+y'^2)\\ \\ \\ \therefore y'^2(1-c^2)=c^2\ \ \ \ \Rightarrow y'^2=\frac{c^2}{1-c^2}\ \ \ \ \ \ \ , \ \ let\ \ a^2=\frac{c^2}{1-c^2}\\$$

\ $$\therefore y'^2=c^2\ \ \ \ \ \ \Rightarrow y'=\pm c\ \ \ \ \ \ \Rightarrow \frac{dy}{dx}=\pm c\\$$

\$$ \therefore y=\pm x\ +b\$$

y que es la ecuación de la recta

-3voto

Diego Mijelshon Puntos 40314

Hay varias cuestiones aquí:

  1. Una errata en tu ecuación. Su $y'$ debe estar al cuadrado. Es decir $y'^2$ . (corregido).
  2. Nada nos impide a ti o a mí utilizar otras normas. La norma 1 podría tener problemas, ya que necesitamos las funciones $y$ y que el "Lagrangiano" sea dos veces continuamente diferenciable antes de derivar las ecuaciones de Euler-Lagrange.
  3. Supongamos que utiliza un $L_4$ norma. Entonces definimos la longitud de un camino como $\lim_{ | \Delta t | \to 0} \sum \| \Delta \bf{x}_i \|_4$ donde por $\lim | \Delta t |$ Me refiero al tamaño de una partición de en un intervalo real $[a,b]$ donde la función paramétrica $\bf{x}(\it t)=(x(t),y(t))$ se define. Entonces, utilizando la misma idea de diferenciales se puede decir $ds = (dx^4 + dy^4)^{1/4}$ y terminar con otra ecuación $I(y)=\int_A^B (1 + y'^4)^{1/4} dx$ . Esto está perfectamente bien. Se podría minimizar esta función de coste, pero si se aplicas la ecuación de Euler-Lagrange aquí obtendrías: \begin {Ecuación} \frac {d}{dx} \frac {y'^3}{(1+y'^4)^{1/4}}=0 \end {ecuación} y entonces $y'^3/(1+y'^4)^{1/4}=\text{constant}\equiv C$ . La solución en este caso no es una línea recta. Entonces, ¿cuál es el punto? Es un problema de optimización y la solución e interpretación cambia según el tipo de norma y espacio que se considere. Si una distancia en kilómetros se calcula en metros tenemos necesitamos multiplicar por 1000 para compensar el hecho de que la nueva métrica es ahora 1/1000 de la antigua métrica. Un segmento recto en un plano se deformaría (se doblaría o estiraría) al cambiar de la métrica euclidiana a una métrica como $L_4$ para ajustarse a la nueva condición del camino más corto. Hay dos cosas diferentes que cambian la solución del problema. La curvatura del espacio (colector) que se utiliza, y la métrica que se quiere imponer. Desde la geometría diferencial el tensor métrico $g_{ij}$ es la métrica natural (riemanniana) que se impone a un espacio curvo y esta métrica genera las geodésicas del sistema. Es decir, es decir, las trayectorias de menor distancia en esa métrica. De nuevo, eres libre de elegir otra métrica, pero entonces esas trayectorias se deformarán en consecuencia.
  4. Ahora, aquí hay una pregunta que no veo que mucha gente (libros, documentos) se plantee. Es obvio que estamos encontrando un mínimo, pero hay que demostrarlo. Es decir, ¿la función de coste (objetivo) es convexa? En otras palabras, la solución que el camino más corto entre dos puntos es recto en $L_2$ La norma aquí en un plano es una condición necesaria pero no suficiente para la estacionariedad. Todavía tenemos que demostrar la parte "suficiente" y luego preguntar si el mínimo es un mínimo local o global, si es único. Parece obvio, pero ¿cómo demostrarlo?
  5. He aquí un argumento interesante que no requiere restricciones suaves ni la sofisticada maquinaria de Euler-Lagrange. Buscamos la longitud del camino más corto $L(A,B)$ entre dos puntos $A$ y $B$ . La distancia es un invariante bajo traslación y rotaciones (son isometrías). Entonces, sin pérdida de generalidad, podemos pensar que $A=(0,0)$ el origen y $B=(0,\ell)$ , donde $\ell$ es la distancia recta entre $A$ y $B$ . Entonces la longitud de cualquier segmento entre $A$ y $B$ viene dada por \begin {Edición} L(A,B) = \int_0 ^{ \ell } \sqrt {1+ y'^2} dx \ge \int_0 ^{ \ell } dx = \ell. \end {Ecuación} ya que $y'^2 \ge 0 $ . Así que $\ell$ es un límite inferior para las longitudes sobre todos los los segmentos que cumplen los requisitos. Además, la distancia recta es $\ell$ Así que $\ell$ es el infimo, el mínimo y la distancia más corta. Si se elige una métrica heredada de $L_4$ norma, se obtendría también, haciendo el mismo análisis que $\ell$ es un límite inferior de todos los caminos de calificación entre $A$ y $B$ pero esta vez $\ell$ es menor que la posible medida más corta bajo esta nueva métrica. Así, la métrica inducida por la norma $L_n$ , $n > 2$ crean caminos más cortos más largos (al menos para $n$ incluso, ¿qué pasa si $n$ es impar?). Esto tiene sentido en el caso de la esfera, donde un segmento recto es más corto que una geodésica en la esfera.

Es obvio que no existe un límite superior para la distancia. Si me das una distancia, siempre puedo encontrar un camino más largo. La pregunta es: ¿tiene la distancia un límite inferior? La respuesta es "sí", ya que la distancia es siempre mayor o igual a cero, por lo que tiene un "infimo". Sin embargo, si el infimo es único no significa que el camino sea único. Pensemos en una distancia en una esfera unitaria entre dos antípodas. Hay un número infinito de caminos que satisfacen el camino más corto de longitud $\pi$ . En el caso de una trayectoria en un plano podemos utilizar el postulado de Euclides: Sólo hay una línea que pasa por dos puntos. Por tanto, es única. Queda por demostrar: ¿Es el ínfimo la longitud de la línea entre esos dos puntos?

Para un excelente debate sobre el tema de esta pregunta, consulte: Un curso de Geometría Métrica capítulo 2.

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Corríjanme si me equivoco, pero por lo que sé, el $l^p$ son únicamente geodésicas para $1 < p < \infty$ para que las geodésicas $y$ en su parte (3) no son en absoluto diferentes de las líneas rectas. Probablemente, también es posible demostrar esto directamente inspeccionando la ecuación de Euler-Lagrange.

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