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Definir el área bajo una función oscilante

Tenía curiosidad acerca de la toma de una integral definida de una función oscilante.

Por ejemplo,

$$\lim_{a\to 0} \int_a^1 \sin \frac1x\,dx$$

Sé que hay algún área dentro de la función, pero desde que oscila infinitamente es posible definir? No se utiliza el límite superior y el límite inferior? Sé que es probable que sea posible (de alguna manera) para tomar la antiderivada de la FTC, etc. pero me estoy preguntando lo que esto realmente intuitivamente significa que, dado que esta función oscila (así que realmente no puede "ver" el área bajo la función).

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Anthony Shaw Puntos 858

Usando la sustitución $x\mapsto1/x$, obtenemos $$ \lim_{a\to0^+}\int_a^1\sin\left (\frac1x\right) \,\mathrm {d} x =\int_1^\infty\frac{\sin(x)} {x ^ 2} \,\mathrm {d} x $$ que converge absolutamente desde \int_1^\infty\frac1{x^2}\,\mathrm{d}x=1 $$ $$ la integral anterior calcula el área bajo la curva sobre el eje de % de $x$y resta el área sobre la curva por debajo del $x$-eje.

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Claude Leibovici Puntos 54392

Después de la respuesta de robjohn, usando especiales funciones $$I=\int \sin\left(\frac 1x\right)~dx=x \sin \left(\frac{1}{x}\right)-\text{Ci}\left(\frac{1}{x}\right)$$ where appears the cosine integral. So,$$J=\int_a^1 \sin\left(\frac 1x\right)~dx=\text \left {Ci} (\frac {1} {un} \right) - un \sin \left(\frac{1}{a}\right) - \text {Ci} (1) + \sin (1)$$ and $$\lim_{a\to0^+}\int_a^1\sin\left (\frac1x\right) \,\mathrm {d} x = \sin (1)-\text {Ci} \approx (1) 0.5040670619$ $

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