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Demostrar que una función toda complejo es idénticamente cero.

Supongamos $f$ es todo y $$\iint_\mathbb{C}|f(z)|^2dxdy < \infty$$Prove that $f\equiv 0.$

Hasta ahora tengo:

Supongamos $f$ está acotada. A continuación, $f$ es constante en virtud de Liouville y, entonces, la conclusión es obvia. Por lo tanto, asumen $f$ no acotada. Entonces $$\Big|\iint_\mathbb{C}f^2(z)dA\Big| \leq \iint_\mathbb{C}|f(z)|^2dxdy < \infty$$ Podemos parametrizar \begin{align*} \iint_\mathbb{C}f^2(z)dA &= \int_0^{\infty}\int_0^{2\pi}f^2(re^{i\theta})\;d\theta\;rdr \\ &= \int_0^{\infty}\int_0^{2\pi}f^2(re^{i\theta})\;ire^{i\theta}[-i\frac{1}{r}e^{-i\theta}]d\theta\;rdr \\ &= \int_0^{\infty}\oint_{C_R}f^2(z)\;[-i\frac{1}{z}]dz\;rdr \\ &= \int_0^{\infty}2\pi r dr\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_R}\frac{f^2(z)}{z}dz \\ \\ &= 2\pi f^2(0)\int_0^\infty rdr \end{align*}

De donde f(0) = 0. Y no tengo idea de a dónde ir desde allí.

El "todo" parece sugerir Liouville pero ya he hablado con el delimitada caso. Por favor, asesorar ...

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kobe Puntos 25876

Fijar $z_0\in \Bbb C$. Para todos los $r > 0$, $$f(z_0) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(z_0 + re^{i\theta})\, d\theta$$ By the Cauchy-Schwarz inequality, $$\lvert f(z_0)\rvert^2 \le \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \lvert f(z_0 + re^{i\theta})\rvert^2\, d\theta$$ for all $r # > 0 $. Hence, for every $r > 0$,

$$\int_0^{R} \lvert f(z_0)\rvert^2 r\, dr \le \frac{1}{2\pi}\int_0^R \int_0^{2\pi} \lvert f(z_0 + re^{i\theta})\rvert^2 r\, d\theta\, dr $$ or $$\lvert f(z_0)\rvert^2 \frac{R^2}{2} \le \frac{1}{2\pi}\iint_{D(z_0;R)} \lvert f(z)\rvert^2\, dx\, dy$$ Hence, $$\lvert f(z_0)\rvert^2 \le \frac{1}{\pi R^2}\iint_{D(z_0;R)} \lvert f(z)\rvert^2\, dx\, dy\le \frac{1}{\pi R^2}\iint_{\Bbb C} \lvert f(z)\rvert^2\, dx\, dy \to 0\quad \text{as} \quad R\to \infty$$

Así $f(z_0) = 0$. Puesto que era arbitrario, $z_0$ $f \equiv 0$.

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