17 votos

El número de particiones de $n$ en distintas partes equivale al número de particiones de $n$ en partes impares

Esto parece ser un resultado común. He estado tratando de seguir la biyectiva la prueba, que se puede encontrar fácilmente, pero las explicaciones van sobre mi cabeza. Sería maravilloso que podrían darme una explicación comprensible de la prueba y quisiera saber cómo me gustaría ir sobre encontrar tal bijection.

37voto

Mike Powell Puntos 2913

Te voy a dar un bosquejo de la bijective prueba; me pregunta si hay alguna parte que no entiendo y la necesidad de abordar los detalles (o tal vez alguien más va a publicar una versión detallada).

La idea importante es que cada número se puede expresar de forma única como una potencia de 2 multiplicado por un número impar. (Dividir el número repetidamente por 2 hasta llegar a un número impar.) Por ejemplo, $120 = 2^3 \times 15$$68 = 2^2 \times 17$$81 = 2^0 \times 81$.

Impar de partes> partes Distintas

Suponga que se dan una partición de n en pares de piezas. Contar el número de veces que cada número impar se produce: supongamos $1$ se produce $a_1$ veces, de manera similar $3$ se produce $a_3$ tiempos, etc. Así $n = a_11 + a_33 + a_55 + \cdots$.

Ahora escribir cada una de las $a_i$ "binario", es decir, como una suma de distintas potencias de dos. Así que usted tiene $n = (2^{b_{11}}+2^{b_{12}}+\cdots)1 + (2^{b_{31}}+2^{b_{32}}+\cdots)3 + \cdots$.

Ahora acaba de deshacerse de los corchetes, y tenga en cuenta que todos los términos son distintos. (Por qué?)

E. g. para $20 = 5+3+3+3+1+1+1+1+1+1$, que es una partición de a $20$ en pares de piezas, hacemos
$20 = (1)5 + (3)3 + (6)1$
$20 = (1)5 + (2+1)3 + (4+2)1$, para obtener la partición
$20 = 5 + 6 + 3 + 4 + 2$ en el que todas las partes son distintas.

Partes distintas -> Impar de piezas

Dada una partición en partes distintas, podemos escribir cada parte como una potencia de 2 multiplicado por un número impar, y recoger los coeficientes de cada número impar, y escribir el número impar aquellos que muchas veces, para obtener una partición en pares de piezas.

Así, por ejemplo, con $20 = 5+6+3+4+2$ que es una partición de a $20$ en partes distintas, podemos escribir $20 = 5 + (2)3 + 3 + (4)1 + (2)1$, y, a continuación, recoger los coeficientes de los números impares $5$, $3$ y $1$:
$20 = 5 + (2+1)3 + (4+2)1$
$20 = 5+3+3+3+1+1+1+1+1+1$, que fue nuestro original impar de la partición.


A un lado, se le preguntó acerca de la bijective prueba, pero no puedo resistir mencionar que cuando Euler demostró este teorema acerca de las particiones, fue con un comprobante que utiliza la generación de funciones. (Cuando usted comprende, tal vez usted puede pensar acerca de si esta prueba está relacionada con el bijective prueba.)

Sketch: Vamos a $D(n)$ denotar el número de particiones en partes distintas, y $O(n)$ denotar el número de particiones en pares de piezas. Entonces tenemos:

$$ \begin{align} \sum_{n\ge0}D(n)x^n &= (1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)(1+x^5) \\ &= \frac{1-x^2}{1-x}\frac{1-x^4}{1-x^2}\frac{1-x^6}{1-x^3}\frac{1-x^8}{1-x^4}\frac{1-x^{10}}{1-x^5}\cdots \\ &= \frac{1}{(1-x)(1-x^3)(1-x^5)\cdots} \\ &= (1+x+x^{1+1}+\cdots)(1+x^3+x^{3+3}+\cdots)(1+x^5+x^{5+5}+\cdots) \\ &= \sum_{n\ge0}O(n)x^n \end{align} $$ lo que demuestra el teorema.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by: