14 votos

"Trucos" para resolver el determinante de una matriz

Tengo un examen pronto, y me preocupa que (como suelo hacer) me equivoque con algún cálculo algebraico menor en un gran problema como encontrar el determinante de una matriz de 4x4 o más grande. Es probable que me pidan que use la Expansión Laplace, y me gustaría saber si hay otras formas rápidas y sucias en las que pueda intentar asegurarme de que mi respuesta fue correcta. Considerando que no estoy autorizado a usar una calculadora, ¿hay algún otro método no estándar que pueda usar para intentar verificar una solución correcta?

Sé cómo encontrar el determinante sin problemas, pero soy muy propenso a errores menores y no quiero pasar demasiado tiempo leyendo cada problema con todo detalle para asegurarme de que no he omitido un signo negativo en alguna parte.

11voto

jlupolt Puntos 369

Si tienes tiempo, siempre puedes hacer el cálculo dos veces, una con la fila superior como punto de partida y otra (digamos) con la fila inferior. Por ejemplo: $$\begin{vmatrix} a & b & c\\d & e & f\\g & h & i \end{vmatrix}=$$ $$a(ei - fh) -b(di -fg) + c(dh - eg)$$ O: $$g(bf - ce) - h(af -cd) +i(ae -bd)$$

Por supuesto, estos dan el mismo resultado, sólo que con un orden diferente de los cálculos. Si calculas ambos a mano y obtienes resultados diferentes, sabes que tienes un error.

También se puede utilizar el método sugerido por Git Gud en los comentarios, es decir, sumar múltiplos escalares de las diferentes filas entre sí para obtener una matriz triangular. Se puede encontrar un ejemplo trabajado aquí .

3voto

John Gallagher Puntos 183

Si la matriz está estructurada de tal manera que una determinada fila o columna tiene muchos ceros, hay que aprovecharlo. Expandir a lo largo de dicha fila/columna reducirá el número de cálculos que debes realizar, lo que ahorrará tiempo y simultáneamente reducirá el riesgo de error.

2voto

Brian Deacon Puntos 4185

Usted puede considere Condensación pivotante .

El PC reduce un $n\times n$ determinante a un $(n-1)\times(n-1)$ determinante cuyas entradas resultan ser $2\times 2$ determinantes. Simplemente itera hasta que tu determinante llegue a un tamaño razonable. (Puede/debe detenerse en $3\times 3$ En ese momento es bastante fácil calcular el resultado final manualmente).

Si busca en Internet "condensación pivotante" encontrará muchas explicaciones y ejemplos. Este documento incluso incluye una prueba sencilla. Este largo vídeo de YouTube pretende explicar el proceso pero no lo he visto entero.

La condensación pivotante puede ser extremadamente tedioso; puede o no ser eficaz en términos de tiempo en una situación de examen. Sin embargo, en cada etapa del proceso, se computa el mero $2\times 2$ determinantes, que son superfáciles y superrápidos. Así que hay una compensación. (Por supuesto, hay otra compensación: con tantos calcular, se acumula el peligro de cometer errores aritméticos estúpidos).

En realidad, la condensación pivotante me ha resultado útil con ciertas matrices simbólicas (en particular, las que tienen términos trigonométricos), ya que me proporciona una forma sistemática de (intentar) combinar elementos. En ese sentido, es uno de mis "trucos" favoritos.

1voto

Collin Puntos 170

No hay una forma estándar de calcular el determinante evitando esos errores, pero puedes usar algunos trucos antes de la Expansión de Laplace para simplificar tu matriz. De todos modos, los trucos que puedes utilizar dependen de tu matriz. Por ejemplo, si tiene dos filas similares, puedes reducir por filas para obtener muchos ceros que simplifiquen tu cálculo. En cambio, si usando la eliminación gaussiana puedes obtener rápidamente una matriz triangular, puedes usarla y luego calcular el determinante tomando el producto de las entradas diagonales.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X