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Para probar un lote vectorial$\xi$ es orientable$\iff w_1(\xi)=0$

Lo hice de esta manera:

$\xi$ An$n$ - vector de rango vectorial sobre un espacio topológico$M$ es orientable.

$\iff$ Su potencia exterior superior$\bigwedge^n\xi$ es trivial

$\iff$ El paquete de 1 marco$V_1(\bigwedge^n\xi)$ admite una sección

$\iff$ La clase de obstrucción$w_1(\bigwedge^n\xi)=\mathfrak o_1(\bigwedge^n\xi)\in H^1(M,\pi_0(V_1(\mathbb R)))$ se desvanece

¿Está bien el argumento hasta ahora?

En caso afirmativo, he demostrado que$\xi$ es orientable$\iff w_1(\bigwedge^n\xi)=0$. ¿Me puede ayudar a probar$w_1(\bigwedge^n\xi)=w_1(\xi)$?

Si no, ¿cómo se argumenta?

8voto

Michael Greinecker Puntos 4751

En primer lugar, necesitamos algunos datos preliminares:

Deje $G_n$ ser el infinito Grassmann colector, es decir, el conjunto de $n$-dimensiones de los subespacios en $\mathbb R^\infty$

Sabemos $G_n=V_n(\mathbb R^\infty)/O(n)$. Deje $\widetilde G_n$ ser su doble cubierta $V_n(\mathbb R^\infty)/SO(n)$. Deje $\gamma_n$ ser la canónica paquete de más de $G_n$ $\widetilde\gamma_n$ ser su retirada bajo la cobertura de proyección.

  1. Por el homotopy exacta de las secuencias de los haces de fibras $SO(n)\hookrightarrow V_n(\mathbb R^\infty)\rightarrow \widetilde G_n$ y $O(n)\hookrightarrow V_n(\mathbb R^\infty)\rightarrow G_n$ vemos que:$$\pi_1(\widetilde G_n)\cong\pi_0(SO(n))=0$$and$$\pi_1(G_n)\cong\pi_0(O(n))=\mathbb Z_2$$since $V_k(\mathbb R^\infty)$ es contráctiles.

  2. También, como consecuencia: $H_1(G_n)=\mathbb Z_2$, de donde $H_1(G_n,\mathbb Z_2)\cong H_1(G_n)\otimes\mathbb Z_2=\mathbb Z_2$, lo que implica la $H^1(G_n,\mathbb Z_2)\cong\text{Hom}(H_1(G_n,\mathbb Z_2),\mathbb Z_2)=\mathbb Z_2$ (Desde $\mathbb Z_2$ es un campo, es elemental álgebra homológica que el $\text{Ext}$ e las $\text{Tor}$ grupos, en el Universal Coeficiente Teorema de desaparecer)

  3. La canónica mapa de $\pi_1(X)\rightarrow H_1(X)$ es un surjection y es por arriba, un isomorfismo al $\pi_1(X)=\mathbb Z_2$

Ahora podemos probar:

Como siempre, tenemos un mapa de $f:M\rightarrow G_n$ tal que $f^*\gamma_n=\xi$ donde $\gamma_n$ es la canónica paquete de más de $G_n$ (la fibra de más de un subespacio es el subespacio propio)

Supongamos $w_1(\xi)=0$

A continuación, $f^*w_1(\gamma_n)=0$ (connaturalidad de Steifel-Whitney clases)

$\Rightarrow f^*:H^1(G_n,\mathbb Z_2)\rightarrow H^1(M,\mathbb Z_2)$ es cero (debido a que $w_1(\gamma_n)$ genera $H^1(G_n,\mathbb Z_2)$)

$\Rightarrow f_*:H_1(M,\mathbb Z_2)\rightarrow H_1(G_n,\mathbb Z_2)$ es cero (debido a que $H^1(-,\mathbb Z_2)=\text{Hom}(H_1(-,\mathbb Z_2),\mathbb Z_2)$ y el cero mapa en dos módulos induce el cero mapa en los módulos)

$\Rightarrow f_*:H_1(M)\rightarrow H_1(G_n)(=\mathbb Z_2)$ es cero (debido a que $H_1(-,\mathbb Z_2)=H_1(-)\otimes\mathbb Z_2$ y un valor distinto de cero mapa de $M\rightarrow \mathbb Z_2$ de los módulos induce un no-cero mapa del módulo $M\otimes\mathbb Z_2\rightarrow\mathbb Z_2\otimes\mathbb Z_2$)

Ahora el surjection de $\pi_1$ $H_1$(3) de un espacio y de $f_*$ resultado en un diagrama conmutativo $\require{AMScd}$ \begin{CD} \pi_1(M) @>{h}>> H_1(M);\\ @VVV @VVV \\ \pi_1(G_n) @>{h}>> H_1(G_n); \end{CD}

Esto, junto con la $\pi_1$ $H_1$mapa de ser un isomorfismo en caso de $X=G_n$ (hecho 3) implica que $f_*:\pi_1(M)\rightarrow\pi_1(G_n)$ es el cero mapa.

Así que por el levantamiento criterio $f$ ascensores $\tilde f:M\rightarrow \widetilde G_n$, por lo que ahora $\xi=f^*\gamma_n=\tilde f^*\widetilde\gamma_n$.

Puesto que el $\gamma_n$ es orientable, entonces es su pullback $\xi$.

Para demostrar lo contrario,

Si $\xi$ es orientable, entonces no es un mapa de $f:M\rightarrow\widetilde G_n$ tal que $f^*\widetilde\gamma_n=\xi$.

Ciertamente tenemos $w_1(\widetilde\gamma_n)=0$ (tiene que ser, porque $\pi_1(G_n)=0$, de donde $H_1$ se desvanece, y lo hace con coeficientes en $\mathbb Z_2$, lo que implica que $H^1(\widetilde G_n;\mathbb Z_2)=0$ vemos que $w_1(\xi)=f^*w_1(\widetilde\gamma_n)=0$)$\quad\square$

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