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¿$f$ Monotone y$f\in L_{1}([a,\infty))$ implican$\lim_{t\to\infty} t f(t)=0$?

Quiero mostrar que si$f$ no aumenta y$f\in L_{1}([a,\infty),m)$ donde$m$ es medida de Lebesgue entonces$\lim_{t\to\infty} t f(t)=0$. Hasta ahora he podido mostrar que$f\geq 0$ y que$\lim_{t\to\infty} f(t)=0$. Dado que las funciones monótonas son diferenciables ae pensé en usar la integración por partes pero no podía llegar a ninguna parte con eso. Cualquier sugerencia o sugerencia sería muy apreciada.

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Alex Miller Puntos 28225

He aquí una manera: $ 2tf (2t) \ leq2 \ int_t ^ {2t} f (x) \, dx \ to0 $$ como$t\to\infty$.

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Mingo Puntos 126

El resultado puede ser demostrado mediante integración por partes, como sigue. Definir la función de $\alpha$ por $\alpha(x)=x$, $x \geq a$. Desde $f$ es monótona, es, en particular, de variación acotada. Dado que, además, $\alpha$ es continua, la integración por partes teorema de Stieltjes las integrales se pueden aplicar y da $$ \int_a^t {f(x)\,d\alpha (x)} = f(t)\alpha (t) - f(a)\alpha (a) - \int_a^t {\alpha (x)\,df(x)} $$ (ver, por ejemplo, el Ejemplo 6 aquí). Por lo tanto $$ tf(t) = \int_a^t {f(x)\,dx} + \int_a^t {x\,df(x)} + af(a). $$ Suponiendo (sin pérdida de generalidad) que $a > 0$, $\int_a^t {x\,df(x)}$ es no creciente en $t$ (desde $f$ es no creciente). Dado que, además, $\lim _{t \to \infty } \int_a^t {f(x)\,dx} \in \mathbb{R}$ $tf(t) \geq 0$ cualquier $t > a$, se deduce pues que la $\lim _{t \to \infty } \int_a^t {x\,df(x)} \in \mathbb{R}$ (para este límite no puede ser $-\infty$). Por lo tanto, dejando $t \to \infty$ en la última ecuación, $$ \exists \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } tf(t): = c \ge 0. $$ Sin embargo, $c$ no puede ser mayor que $0$, de lo contrario, $f(t) \sim c/t$ $t \to \infty$ produce una contradicción a la integrabilidad de $f$. Por lo tanto $c=0$, y el resultado queda demostrado.

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