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Homotopy la teoría de los esquemas de ejemplos

Es posible dar un ejemplo de (o explicar) cómo la Voevodsky et al.'s homotopy la teoría de los esquemas calcula mayor Chow grupos?

29voto

vikingosegundo Puntos 136

Para simplificar las cosas, supongamos que podemos trabajar a través de un campo perfecto. La parte más fácil de motivic cohomology que podemos obtener es el grupo de Picard (es decir, el Chow de grupo en el grado 1). Esto funciona esencialmente como de la topología: en el (modelo) categoría de simplicial Nisnevich poleas (más suave k-esquemas), la clasificación de espacio del grupo multiplicativo $\mathbb G_m=\mathbb A^1-\{0\}$ $\mathbb A^1$- homotopy tipo de infinitas dimensiones proyectivas espacio. Además, como el grupo de Picard es homotopy invariante para regular los esquemas de (semi-normal es aún suficiente), el hecho de que $H^1(X,\mathbb G_m)=\text{Pic}(X)$ lee como $[X,B\mathbb G_m]=\text{Pic}(X)=CH^1(X)$ donde $[?,?]$ representa el $\text{Hom}$ $\mathbb A^1$- homotopy categoría de $k$-planes, denotado por a $H(k)$.

En general, se denota por a $K(\mathbb Z(n),2n)$ $n$- th motivic Eilenberg-MacLane espacio, es decir, el objeto de $H(k)$, lo que representa el $n$-th Chow grupo en $H(k)$: para cualquier liso $k$ -$X$, uno tiene

$$[X,\Omega^i K(\mathbb Z(n),2n)]=H^{2n-i}(X,\mathbb Z(n))$$

(donde $\Omega^i$ representa el $i$-th bucle espacio functor). Para $i=0$, acabamos de recibir la habitual Chow grupos:

$$H^{2n}(X, \mathbb Z (n)))\simeq CH^n(X) .$$

A continuación, hay varios modelos para $K(\mathbb Z(n),2n)$, uno de los más pequeños se construye como sigue. Lo que he explicado anteriormente es que $K(\mathbb Z(1),2)$ es el infinito espacio proyectivo. $K(\mathbb Z(0),0)$ es simplemente la constante gavilla $\mathbb Z$. Para mayor $n$, aquí es una construcción (esto es Voevodsky).

Dado un $k$ -$X$, denotan por $L(X)$ la presheaf con las transferencias asociadas a la X, que es la presheaf de abellian grupos cuyas secciones a través de una suave $k$- $V$ son finitos correspondencias de $V$ $X$(es decir, las combinaciones lineales finitas de los ciclos de $\sum n_iZ_i$ $V \times X$ tal que $Z_i$ es finito y surjective $V$). Este es un presheaf, donde los pullbacks se definen utilizando los pullbacks de ciclos (la condición de que el $Z_i$; son finitos y surjective más suave (de ahí normal) esquema de $V$ hace que esto está bien definido, sin trabajar hasta racional de las equivalencias, y como consideramos que sólo pullbacks a lo largo de los mapas de $U \to V$ $U$ $V$ liso (de ahí regulares) se asegura de que las multiplicidades que aparecerá a partir de estos pullbacks siempre será enteros). La presheaf $L(X)$ es una gavilla para la Nisnevich topología. Esta construcción es functorial en $X$ (voy a necesitar este functoriality sólo para inmersiones cerradas).

Deje $X$ (resp. $Y$) el producto cartesiano de a $n$ (resp. $n-1$) de los ejemplares de la línea proyectiva. El punto en el infinito da a la familia de $n$ mapas de $u_i : Y \to X$. A continuación, un modelo de $K(\mathbb Z(n),2n)$ $H(k)$ es la gavilla de los conjuntos obtenidos como el cociente (en la categoría de Nisnech gavillas de abelian grupos) de $L(X)$ por el subsheaf generados por las imágenes de los mapas de $L(u_i):L(Y)\to L(X)$.

Si quieres una definición conceptual, existe también la dirección de la algebraicas cobordism (pero para esto, usted necesita entender el establo homotopy de $\mathbb P^1$-espectros, pero tal vez es suficiente en un primer momento a pensar de $\mathbb P^1$-espectros simplemente como el cohomology teorías permitido en homotopy la teoría de los esquemas): la idea es que no es una expresión algebraica cobordism, el cual es representado por un $\mathbb P^1$-espectro de $MGL$ (el análogo del espectro $MU$, lo que representa complejo cobordism en topología algebraica). La idea es que el $MGL$ es el universal orientado cohomology de la teoría (de corto, esto significa que, si un cohomology teoría de la $E$ satisface la proyectiva paquete de fórmula, entonces la elección de una orientación, es decir, de una generación de clase en la segunda cohomology grupo de $\mathbb P^1$ con coeficientes en $E(1)$, es el mismo que el de un mapa de anillo de espectros $MGL \to E$. La idea es que, como en topología algebraica, grupos formales leyes clasificar orientado cohomology teorías ($MGL$ correspondiente a la inicial del grupo formal de la ley). El cohomology teoría que corresponde a la multiplicación grupo formal de la ley es$KGL$, $\mathbb P^1$- espectro que representa algebraica de K-teoría, mientras que el cohomology de la teoría correspondiente al aditivo grupo formal de la ley es motivic cohomology (esta última caracterización ha sido anunciado por F. Morel y M. Hopkins si $k$ es de característica cero, pero no está publicado todavía, y es conocido por cualquier campo $k$ si trabajamos con coeficientes racionales (esto es un resultado de Spitzweck, Nauman, Ostvaer)).

9voto

Eric Haskins Puntos 4214

Motivic cohomology calcula Chow grupos. Y, motivic cohomology es representable en el A^1-categoría. Más específicamente, CH^p(X)=H^2p(X,Z(p)). El cohomology grupos de la derecha son representables por "Eilenberg-Mac Lane" espacios en^1-homotopy teoría. Aquí, por representable, me refiero a la cohomology grupos coinciden con homotopy clases de mapas para un poco de espacio.

Algunos detalles más: Marc Levine tiene un papel que se llama La homotopy coniveau de filtración, se puede encontrar aquí. El título se refiere a una torre que es un análogo de la Gersten resolución algebraica de K-teoría. Las capas de la homotopy coniveau filtración para el espacio de representación de K-teoría aparentemente dan la motivic Eilenberg-Mac Lane espectro.

Déjame contarte los detalles. Esto es todo desde la introducción de Levine papel. Sea E un espectro (en el establo motivic categoría). Para tal espectro E, Levine construye una torre E^(p)->E^(p-1)->...->E. E^(p)(X) es el límite de los espectros con apoyos E^W(XxA^n) donde W es cerrado de codimension al menos p en XxA^n. A continuación, la capa E^(p/p+1) es el cofiber en el nivel p. Cuando se aplica a todo el espectro que representan K-teoría, el sector K^(p/p+1)(X) corresponde a Bloch del ciclo superior grupo z^p(X). Y, es bien sabido que este calcula (superior) Chow grupos y motivic cohomology.

6voto

erik Puntos 3923

Si X no es suave, entonces es posible que el Chow grupos y el A^1-representado motivic cohomology de la teoría a estar en desacuerdo.

Por ejemplo, si tomamos X ser de dos copias de Un^1 identifica en un punto, a continuación, CH^0(X) tiene rango 2, pero la gavilla representado por X en el A^1 categoría es contráctiles, por lo que H^0(X,Z(0)) tiene rango 1.

Ver a este último punto, podemos considerar a X como la colimit de un diagrama De^1 <- * -> A^1. Puesto que los mapas en este diagramas son monomorphisms de esquemas, que son cofibrations. El colimit del diagrama es, por tanto, equivalente a la homotopy colimit, que es invariante bajo pointwise de equivalencias de los diagramas. Desde Un^1 es contráctiles, nos quedamos con la colimit de * <- * -> *, un punto.

Moralmente,^1 es contráctiles, por lo que podemos disminuya el A^1s sin cambiar el A^1 homotopy tipo.

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