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Importancia de la suavidad.

Cuál es la importancia real de una función siendo liso, aparte esta siendo necesario para analyticity. ¿Cuál es el problema si el derivado 4323rd tiene una discontinuidad?

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Harald Hanche-Olsen Puntos 22964

En la práctica, que es de poca o ninguna importancia. Sin embargo, la suavidad simplifica algunas pruebas, y también simplifica algunas definiciones: Por ejemplo, la caracterización de un vector tangente en un punto de $p$ de un colector $M$ ser un funcional lineal $X$ $C^\infty(M)$ satisfacción $X(fg)=X(f)g(p)+f(p)X(g)$ es útil a veces, pero no creo que su análogo para $C^n(M)$ mantiene. Sin embargo, usted puede hacer $C^n$ geometría diferencial con una más directa de la definición de los vectores de tangentes.

Edición en respuesta a un comentario a continuación: Vamos a trabajar a través de las anteriores en el caso de $M=\mathbb{R}^d$, dejando $p$ ser el origen. Tomamos nota de que, por cualquier $f\in C^\infty(\mathbb{R}^d)$ $$\begin{aligned} f(x)-f(0)&=\int_0^1 \frac{d}{dt} f(tx)\,dt=\sum_{j=1}^d x^j f_j(x), \quad\text{where}\\ f_j(x)&=\int_0^1\partial_jf(tx)\,dt, \end{aligned} $$ donde $\partial_jf$ es la derivada parcial de $f$ con respecto al $x^j$, y yo soy de la convención común de la escritura $x^j$ $j$ésima componente de $x$. Ahora es fácil ver que $X(g)=0$ por una constante $g$. También se $f_j(0)=\partial_jf(0)$, por lo que la aplicación de $X$ a la anterior obtenemos $$ X(f)=\sum_{j=1}^d X^j\partial_jf(0), \qquad\text{where $X^j=X(x^j)$.}$$ En breve, $$X=\sum_{j=1}^d X^j\partial_j.$$ En particular, el espacio de los operadores lineales $X$ satisfacción $X(fg)=X(f)g(0)+f(0)X(g)$ $d$- dimensional, y puede ser identificado con el espacio de la tangente en $0$.

Todo esto se rompe si puedo reemplazar $C^\infty$$C^k$$k<\infty$! Para una cosa, si $f\in C^k$, entonces no podemos decir $f_j\in C^k$ más, por lo que el conjunto de la prueba se rompe. Además, el espacio de la "tangente vectores" $X$ se convierte en infinito dimensional! Ver [1]. (Esto lo aprendí de Warner Fundaciones de los Diferenciales de los Colectores y la Mentira de los Grupos.)

[1] W. F. Newns y A. G. Walker, planos Tangentes a una variedad diferenciable, J. Londres Matemáticas. Soc. (1956) 31, 400-407 (enlace directo a un archivo en pdf, tal vez detrás de un paywall).

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sewo Puntos 58

La verdadera ventaja de la suavidad es que, asumiendo que una función es suave libera de mantener un seguimiento de exactamente cómo muchos de sus más altos derivados usted necesita existir para sus cálculos para que sea válido. Es simplemente más fácil de esa manera, y los matemáticos son perezosos.

También ayuda a que (en el caso real) no son lo suficientemente suave funciones que esta suposición generalmente no tirar nada te arrepentirás perder más tarde. A menudo usted puede deshacerse de la suavidad de la asunción por parte de algunos (a menudo implícita) la aproximación argumento al final del día después de haber hecho el trabajo real en un bonito mundo hipotético donde todo es suave.

En contraste, por ejemplo, suponiendo que todo es analítica es mucho más restrictivo, y conlleva muchas consecuencias que no son ni siquiera aproximadamente cierto acerca de la menos agradable de los casos.

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Ron Gordon Puntos 96158

Esta es una gran pregunta, una que estaba pensando cuando respondiendo a una pregunta sobre la búsqueda de las "rodillas" de una sigmoide, y allí, yo estaba teniendo el OP, tome la tercera derivada de la curva de hacerlo. Me preguntaba cómo se podía encontrar una curva natural en el que algunos de orden superior derivadas era discontinua, y cómo se podría determinar a partir de la curva original.

Discontinua derivados juegan un papel en el comportamiento de las transformadas de Fourier. Considere la posibilidad de $f(x) = x^2 e^{-x} \theta(x)$ donde$\theta(x) = 0 \, \forall \, x<0$, y 1 en caso contrario. Aquí es un gráfico:

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Cerca de $x=0$, tendría un tiempo difícil decirle que esta función no es suave. Pero, como resulta que, transformadas de Fourier de las funciones puede recoger estas cosas porque los PIES de tales funciones algebraicas comportamiento en $\infty$ frente a un comportamiento exponencial. Por ejemplo, el pie de $f(x)$ es

$$\hat{f}(k) = -\frac{i \sqrt{\frac{2}{\pi }}}{(k+i)^3} = O\left ( \frac{1}{k^3} \right )$$

como $k \rightarrow \infty$. En general, cuando hay una discontinuidad en la $m$th derivado de la $f(x)$, la correspondiente FT $\hat{f}(k) = O(1/k^{m+1})$. Así, en su función hipotética con la discontinuidad en la $4323$rd derivados, puede verificar mediante la toma de los PIES, trazando su valor absoluto en un log-log de la parcela, y verificar que la pendiente de la línea para un gran $k$ es, de hecho,$-4324$.

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