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¿Son funciones polinómicas en $S^1$ densas en $C(S^1,ℂ)$?

Una amiga mía vino para arriba con este problema: dejar $S^1$ ser el círculo de la unidad en $ℂ$ y $P$ el espacio de polinomio funciones $S^1 → ℂ$ (con coeficientes complejos). ¿Es denso en $P$ $C(S^1,ℂ)$?

Piedra – Weierstraß no es aplicable porque $P$ no es cerrado bajo Conjugación compleja. Nos preguntamos si compleja conjugación en $S^1$ (= inversión) es un límite uniforme de polinomios. Sospecha que no, pero no saben cómo demostrarlo.

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Reto Meier Puntos55904

Suponiendo que "polinomio" significa "polinomio en $z$", es decir, de la forma $\sum_{k=0}^n a_k z^k$, entonces no, no son densos, y la función de $\bar{z}$ no está en su uniforme de cierre.

El alto nivel de la razón es que los polinomios son holomorphic en la unidad de disco, holomorphic funciones son cerrados bajo la convergencia uniforme, y $\bar{z}$ no es holomorphic.

Para una prueba directa, considerar el lineal funcional $I(f) = \int_{S^1} f(z)\,dz = \int_0^{2\pi} f(e^{i\theta}) i e^{i\theta}\,d\theta$. Esto es claramente continua con respecto a la norma uniforme puesto $$|I(f)| \le \int_0^{2\pi} |f(e^{i\theta})| |ie^{i\theta}|\,d\theta \le 2 \pi \|f\|_{\infty}.$$

Pero para cualquier polinomio $f$, se puede comprobar que $I(f)=0$. Por lo tanto, por la continuidad, $I(f)=0$ cualquier $f$ en el cierre de los polinomios. Por otro lado, para $f(z)=\bar{z}$, $I(f) = 2\pi i$, por lo $f(z)=\bar{z}$ no está en el cierre.

(Esta prueba es fácil de descubrir cuando usted sabe que la integral de Cauchy teorema, que dice que cualquier holomorphic función ha $\int_{S^1} f(z)\,dz = 0$ o, de hecho, la misma colocación de $S^1$ con cualquier agradable curva cerrada.)

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Janis Veinbergs Puntos210

Ok (casi) todos los periódicos de la función $g$ $[0,1]$ puede ser escrita en la forma $$ g(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{2\pi i n x} $$

Usted puede cambiar de la función de $f : S^1 \subset \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ a el periódico de la función en $[0,1]$ a través de una transformación simple: $e^{2\pi i \theta}$. $$ g(\theta) = f(e^{2\pi i \theta}) $$ Esta transformación puede considerarse en cierto sentido como bijection entre las funciones periódicas y funciones definidas en $S^1$. (Tendría que especificar exactamente los espacios de funciones para ser verdad.)

Pero echemos un vistazo a lo que usted consigue cuando usted transformación polinomial. $$ f(z) = \sum_{n=0}^N a_n z^n $$ $$ g(\theta) = f(e^{2\pi i \theta}) = \sum_{n=0}^N a_n e^{2\pi i n \theta} $$ Uupss faltan esos términos negativos $e^{-2 \pi i n \theta}$. Así que usted no puede conseguir todos los periódicos de la función en $[0,1]$.


Desde arriba se puede ver que "polinomios" de forma $\sum_{n=-N}^n a_n z^n$ son densos en $C(S^1,\mathbb{C})$ y son holomorphic en $\mathbb{C} \setminus \{0\}$, lo cual es interesante porque $\overline z$ no es holomorphic y $\overline z$ era exactamente lo que falta en las anteriores. Este costuras para mí muy especial a la $S^1$ porque $\frac1{z} = \frac{\overline z}{z\overline z} = \overline z $ sólo en el $S^1$.

Alguien podría ampliar en lo que armónica de los polinomios de la forma base de la $L^2(S^1)$ y la parte real de holomorphic función es armónica supongo que está conectado a la anterior, pero ahora mismo no tengo el poder para pensar más.

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