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Invertir y restar, ¿hay alguna explicación?

Veo en muchos Brasileños sitios que, si usted obtiene un número y resta por su inverso, usted va a tener cero o un múltiplo de nueve. Por ejemplo:

22 - 22 = 0
51 - 15 = 36 (multiple of 9)
444 - 444 = 0
998 - 899 = 99 (multiple of 9)
1350 - 0531 = 819 (multiple of 9)
654321 - 123456 = 530865 (multiple of 9)

Escribí este código en Python para la prueba de un rango de números:

importación de matemáticas

for i in range(1, 1000001):
 inverse = int(str(i)[::-1])
 resultado = int(math.fabs(i - inversa))

 si el resultado != 0 y de resultado % 9 != 0 :
de impresión(resultado)

para los que se van lo que parece ser cierto. Pero yo no era capaz de encontrar cualquier tipo similar de "matemática de la curiosidad" en los sitios de idioma inglés.

Si es cierto, es que no hay explicación para eso? Debido a que los sitios que difundir esa información, no ofrece ninguna explicación.

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David HAust Puntos 2696

Sugerencia $\ $ Un entero es congruente con su suma de dígitos de mod $9$ (fundición de nueves). El dígito la suma de la inversa de número es el mismo que el original, por lo que su diferencia es cero mod $\,9.\,$ Más precisamente

$${\rm mod}\ 9\!:\,\ n = P(10)\equiv \overbrace{P(1)= \bar P(1)}^{\rm digit\ sum}\equiv \bar P(10)= \bar n\,\ \Rightarrow\,\ 9\mid n-\bar n\qquad $$

donde $\,P(10) = d_n 10^n+\cdots + d_1 10 + d_0$ es la base de polinomios, por lo tanto, $\,P(1) = $ suma de dígitos, y $\bar n$ = la reversión de la $\,n,\,$ $\,\bar P\,$ es la inversa de (recíproca) polinomio. Por lo tanto, la congruencia $\,P(10)\equiv P(1) = $ suma de dígitos, la idea clave detrás de echar fuera nines, no es sino un caso especial del Polinomio de la Congruencia de la Regla, una consecuencia de la polinomio de la forma de la base de la representación.

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Stefan4024 Puntos 7778

Sea el número: $\overline{a_1a_2a_3...a_n}$ ya que estamos utilizando el sistema decimal podemos escribir como:

$$\overline{a_1a_2a_3...a_n} = 10^{n-1}a_1 + 10^{n-2}a_2 + ... + a_n$$

Mientras que si tapa los dígitos, entonces tendremos un número:

$$\overline{a_na_{n-1}a_{n-2}...a_1}=10^{n-1}a_n + 10^{n-2}a_{n-1} + ... + a_1$$

Ahora desde $10 \equiv 1 \pmod 9$, sacando energías de ambos lados tenemos: $10^k \equiv 1 \pmod 9 \forall k \in \mathbb{N}$ así que tenemos:

$$10^{n-1}a_1 + 10^{n-2}a_2 + ... + a_n \equiv a_1 + a_2 + ... + a_n \pmod 9$$

En el otro lado, simularly:

$$10^{n-1}a_n + 10^{n-2}a_{n-1} + ... + a_1 \equiv a_n + a_2 + ... + a_1 \pmod 9$$

Les reste y tienes:

$$10^{n-1}a_1 + 10^{n-2}a_2 + ... + a_n - (10^{n-1}a_n + 10^{n-2}a_{n-1} + ... + a_1) \equiv a_1 + a_2 + ... + a_n - (a_n + a_2 + ... + a_1) \equiv 0 \pmod 9$$

De esto tenemos:

$$9\mid 10^{n-1}a_1 + 10^{n-2}a_2 + ... + a_n - (10^{n-1}a_n + 10^{n-2}a_{n-1} + ... + a_1)$$ $$ \implies 9 \mid \overline{a_1a_2a_3...a_n} - \overline{a_na_{n-1}a_{n-2}...a_1}$$

Por lo tanto la prueba.

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