Símbolo "$\mid$" "tal que"

Question

Conozco el símbolo de "tal que" $\mid$ a partir de la definición de conjuntos: $$\{x \mid x \in \Bbb N \land x < 3\}$$

¿Está bien usar este símbolo fuera de los conjuntos? Por ejemplo, si quiero definir una función que tome un conjunto no vacío de números naturales y produzca el elemento mínimo de este conjunto, ¿puedo escribirlo así?

$$f : \mathcal P (\Bbb N) \setminus \{ \emptyset\} \to \Bbb N \\ x \mapsto y \mid y \in x \land \forall z: z \in x \to z \geq y$$

¿O un matemático me dispararía a primera vista si escribiera esto?

EDITAR:

Gracias por tu comentario. Una proposición que hiciste fue escribir "tal que" en palabras. Pero ¿no rompe esto el objetivo de una notación formal, es decir, su comprensión internacional? Si escribiera: $$x \mapsto y \text{ tal que } y \in x \land \forall z: z \in x \to z \geq y$$ o $$x \mapsto y \text{ tal que } y \text{ sea el elemento mínimo del conjunto } x$$

¿No llevaría esto a malentendidos si el lector no habla español?

Para resumir la pregunta: ¿Cómo escribirías la función $f$ como se definió anteriormente?

Answer 1

Preguntas cómo escribiría esta función:

$$f : \mathcal P (\Bbb N) \setminus \{\} \to \Bbb N \\ x \mapsto y \mid y \in x \land \forall z: z \in x \to z \geq y$$

Primero corregiría el error en la línea superior: quieres que el dominio sea la familia de subconjuntos no vacíos de $\Bbb N$, que es $\wp(\Bbb N)\setminus\{\varnothing\}$ o, si insistes en evitar la notación estándar para el conjunto vacío, $\wp(\Bbb N)\setminus\{\{\}\}$. Tu $\wp(\Bbb N)\setminus\{\}=\wp(\Bbb N)\setminus\varnothing=\wp(\Bbb N)$. El resto se puede comprimir fácilmente en una línea:

$$f:\wp(\Bbb N)\setminus\{\varnothing\}\to\Bbb N:x\mapsto\min x\;.$$

Desde mi punto de vista, $y=\min x$ es mucho más fácil de entender que ‘$y$ es el único elemento de $x$ tal que $y\le z$ para todo $z\in x$’, ya sea expresado en inglés, en español, o completamente en símbolos matemáticos.

Para la pregunta más general, no usaría $\mid$ para tal que en general, al igual que no usaría dos puntos que prefiero para mi notación de conjunto: no esperaría que se entendiera automáticamente (y yo mismo no lo entendería de inmediato). En el contexto dado entendería tal que de inmediato, y mi español es muy, muy básico.

No considero la comprehensibilidad internacional como un objetivo principal de la notación matemática, formal o (relativamente) informal. La función principal de una buena notación matemática en el uso matemático cotidiano es hacer que las matemáticas sean más fáciles de entender y seguir. (La notación destinada a ayudar en la demostración mecánica de teoremas u algo similar es una excepción.)

Answer 2

Iría un poco más lejos incluso que la respuesta de Brian, y usaría más palabras y menos símbolos. (Por cierto, no estoy seguro de que su segundo dos puntos sea estándar.)

Simplemente diría "dado un conjunto no vacío $A$ de números naturales, denotamos su elemento menor por $f(A)$." Como dice Brian, a esta función en particular $f$ a menudo se le llama simplemente $\min$.

Answer 3

En la universidad a la que asistí, se utilizaban s.t. y .э. (algunos profesores omitían los puntos en el segundo caso). Sin embargo, dudo que estos sean universales y prefiero imitar a otros cuando se dice que el lenguaje escrito es usualmente la mejor manera de transmitir significado. Proveniente de un fondo en estadística, por ejemplo, | típicamente significa "dado" para mí en lugar de "tal que" como algunas personas usan en notación de conjuntos (yo uso dos puntos como "tal que" en notación de conjuntos).

Además, cosas como э pueden ser utilizadas, o al menos parecer familiares, como notaciones de "pertenece a" para conjuntos. Los matemáticos generalmente utilizan, reciclan y luego reutilizan notaciones una y otra vez, por lo que en una situación en la que estás hablando con una audiencia general, las palabras son tu mejor amigo.