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Puzzle de bombillas

Hay $10$ bombillas en una fila, encendido o apagado. Cuántas combinaciones de encendido y apagado de las bombillas que podemos tener si no hay dos encender bombillas pueden estar uno al lado del otro?

Parece que forma una secuencia de Fibonacci, si partimos de una base de caso de $1$ bulbo y el trabajo, pero no entiendo intuitivamente por qué este es el caso.

$$F(1) = 2\\ F(2) = 3\\ F(3) = 5$$

Donde $F(X)$ es el número de combinaciones que podemos tener con $X$ bombillas de luz en una fila.

Gracias por la ayuda.

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Lorin Hochstein Puntos 11816

Supongamos $F(n)$ es el número de maneras de hacerlo con $n$ bombillas.

Si usted tiene $n+1$ bombillas, entonces usted puede tener la última bombilla apagada, en cuyo caso se $F(n)$ formas de hacerlo (cualquier combinación de las primeras $n$ va a hacer). O usted puede tener la última, en cuyo caso se necesita una combinación de la primera $n$ en los cuales el último está apagado; hay $F(n-1)$ formas de hacer que. Así que en total, usted tiene que $$F(n+1) = F(n) + F(n-1).$$ Desde $F(0)=1$$F(1)=2$, se obtiene la secuencia de Fibonacci "movido por $1$".

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