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Pregunta:

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Utilizando el cambio de la variable $$ \int \frac{\sin(x)}{x^2 + 4x + 5} dx=\int \frac {\sin(x)}{(x + 2)^2 + 1}dx $ tenemos entonces que $y = x + 2$

$dy = dx$$

$$I = \int \frac{\sin(y - 2)}{y^2 + 1} dy$, $f = \sin(y - 2)$

$f' = \cos(y - 2)$, $g' = \frac {1} {y^2 + 1}$

$g = \arctan(y)$

$I = \sin(y - 2) \cdot \arctan(y) + \int \cos(y - 2) \arctan(y) dy$

¿Cómo puedo solucionar?

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Aaron Maroja Puntos 12610

Esta respuesta está inspirada en la etiqueta utilizada por el OP.

Usted puede encontrar el valor de $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin (x)}{(x+2)^2 + 1} dx$$ by using complex integration. Consider the function $f(z) = \frac{1} {(z +2) ^ e +1}$ then $f(z) 2 ^ {iz} $ is analytic everywhere on and above the real axis except at the point $z = -2 + i$.

Que $C_R$ ser la mitad superior de la % círculo $|z| = R$, $R > 2 $ $z = -R$ $z = R$.

Entonces integrando $f(z) e^{iz}$ producciones

$$\int_{-R}^{R} \frac{e^{ix}}{(x+2)^2 + 1} dx = 2\pi i \,\,\mathrm{Res}_{z = -2 + i}\,\, [f(z)e^{iz}] - \int_{C_R} f(z)e^{iz} dz \tag{*}$$

donde $\mathrm{Res}_{z = -2 + i}\,\, [f(z)e^{iz}] = \frac{e^{-1}(\cos 2 - i\sin 2)}{2i}$ y demostrando que $\int_{C_R} f(z)e^{iz} dz \to 0$ $R \to \infty$ (¿por qué?) así que tenemos la parte imaginaria de $(*)$

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin (x)}{(x+2)^2 + 1} dx = \color{red}{-\frac{\pi\sin 2}{e}}$$

$R \to \infty$.

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