43 votos

Todos pueden real de los polinomios de ser tenidos en cuenta en cuadrática y lineal de los factores?

Así que entiendo cómo hacer la integración de funciones racionales con una lineal y una cuadrática denominador, y entiendo cómo hacer un parcial fracción de descomposición, pero me preguntaba ¿qué sucede si el polinomio es de grado superior y no puede ser factorizado. Más adelante en la página, dice esto:

Sin embargo, se puede demostrar que cualquier polinomio con coeficientes reales es un producto de lineal y/o irreductible factores cuadráticos con coeficientes reales.

Y me pregunto, ¿cómo sabemos esto y esto es sin duda cierto?

70voto

Milo Brandt Puntos 23147

Sí, esto es cierto. En particular, tenemos que usar un teorema llamado Teorema Fundamental del Álgebra , que dice lo siguiente:

Cualquier polinomio de grado $n$ con coeficientes complejos es el producto de $n$ lineal de factores.

Por ejemplo, $ax^2+bx+c$ siempre puede ser escrito como $a(x-k_1)(x-k_2)$ potencialmente complejas $k_1$$k_2$.

Entonces, tenemos otra pieza de maquinaria para aplicar este teorema de los números reales. En particular, necesitamos saber sobre el conjugado complejo que se define como sigue: $$\overline{x+iy}=x-iy.$$ Se puede comprobar que $\overline{a}\cdot\overline{b}=\overline{ab}$$\overline{a}+\overline{b}=\overline{a+b}$. Básicamente, esto refleja la complejidad de avión sobre el eje real, y, al hacerlo, se conserva la multiplicación y la suma. Sin embargo, para cualquier número real $\overline{x}=x$. Podemos usar esto de la siguiente manera:

Supongamos $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots a_1x + a_0$ es un polinomio real con los valores de coeficiente. Entonces, podemos calcular, para cualquier número complejo a $z$ que: $$\overline{f(z)}=f(\overline z)$$ que está probado, ya que, por ejemplo, $\overline{a_n z^n}=\overline{a_n} \cdot \overline{z^n}=a_n \overline{z}\,\! ^n$ desde $a_n$ es real. En particular, esto significa que, supongamos que $a+bi$ es una raíz de $f$. Entonces así debe de $a-bi$ ser una raíz de $f$ - es decir, el complejo de raíces vienen en los llamados "conjugado pares".

Podemos aprovechar esto de la siguiente manera: Un polinomio $f(x)$ es el producto del coeficiente inicial, $a_n$, y de los términos de $(x-z_i)$ donde $z_i$ es una secuencia de la indexación de sus raíces. Ahora, si $z_i$ es real, entonces estamos bien, porque es un factor linear. El cuadrática factores surgen debido a que, en lugar de escribir, por un complejo de raíz de $a+bi$ y su conjugado $a-bi$ el producto $(x-a-bi)(x-a+bi)$, la participación de términos complejos, podemos multiplicar la expresión para recibir $(x^2 - 2ax + a^2 + b^2)$ que es una ecuación cuadrática en $x$ con coeficientes reales. Haciendo esto con todos los factores, vemos que el polinomio se puede escribir como un producto de lineales y cuadráticas factores.

15voto

HappyEngineer Puntos 111

En general, cualquier polinomio de grado $n$ tiene una factorización en lineal complejo de factores. Esto es una consecuencia del teorema fundamental del álgebra.

Si $p(x)$ es un polinomio real con factor de $x-w$ $w$ complejo, $x-\bar w$ es también un factor (debido a $p(\bar w)=\overline{p(w)} = 0$.) Al $w$ no es real ($w\neq \bar w$) entonces sabemos que $(x-w)(x-\bar w) = x^2 -(w+\bar w)x+w\bar w$ es un factor de $p(x)$, e $w+\bar w$ $w\bar w$ son reales.

Así que, por inducción, siempre podemos factor de $p$ como producto de lineales y polinomios cuadráticos.

10voto

rschwieb Puntos 60669

Es cierto que debido a la clausura algebraica de $\Bbb R$ $\Bbb C$ que es un campo de extensión de grado 2.

Cualquier polinomio irreducible $p$ crearía un campo finito de extensión de $\Bbb R$, es decir,$\Bbb R[x]/(p)$. Pero esto significa que el grado de $p$ divide a 2.

3voto

marty cohen Puntos 33863

Sí, porque si $z$ es un complejo de raíz de $P(x)$ con coeficientes reales, usted puede fácilmente mostrar que $\bar{z}$ también es una raíz desde $P(\bar{z}) = \overline{P(z)} $. Por lo tanto $u(x) =(x-z)(x-\bar{z}) $ divide $P(x)$.

Pero $u(x)$ es un polinomio cuadrático con coeficientes reales.

1voto

orangeskid Puntos 13528

Por ejemplo, tome $P(x) = x^n-1$. La factorización en el complejo lineal de los factores es

$$(x^n-1) = \prod_{k=0}^{n-1}( x - (\cos \frac{2 k \pi}{n} + i \sin \frac {2 k \pi}{n}) )$$

A partir de los pares de la no-real conjugado raíces $\{ (\cos \frac{2 k \pi}{n} + i \sin \frac {2 k \pi}{n}) ,(\cos \frac{2 (n-k) \pi}{n} + i \sin \frac {2 (n-k) \pi}{n}) \}$ $0< k < \frac{n}{2}$ obtenemos la ecuación cuadrática factores $$( x - (\cos \frac{2 k \pi}{n} + i \sin \frac {2 k \pi}{n}) )(x-(\cos \frac{2 (n-k) \pi}{n} + i \sin \frac {2 (n-k) \pi}{n}))=\\=x^2 - 2\cos\frac{2 k \pi}{n}\, x + 1 $$

Tenemos así el real de la factorización de $x^n-1$:

$$x^n-1 =(x-1)\prod_{k=1}^{\frac{n-1}{2}} (x^2 - 2\cos\frac{2 k \pi}{n}\, x + 1 )$$ si $n$ impar y

$$x^n-1 =(x-1)(x+1)\prod_{k=1}^{\frac{n}{2}-1} (x^2 - 2\cos\frac{2 k \pi}{n}\, x + 1 )$$

si $n$ es incluso.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X