Sí, esto es cierto. En particular, tenemos que usar un teorema llamado Teorema Fundamental del Álgebra , que dice lo siguiente:
Cualquier polinomio de grado $n$ con coeficientes complejos es el producto de $n$ lineal de factores.
Por ejemplo, $ax^2+bx+c$ siempre puede ser escrito como $a(x-k_1)(x-k_2)$ potencialmente complejas $k_1$$k_2$.
Entonces, tenemos otra pieza de maquinaria para aplicar este teorema de los números reales. En particular, necesitamos saber sobre el conjugado complejo que se define como sigue:
$$\overline{x+iy}=x-iy.$$
Se puede comprobar que $\overline{a}\cdot\overline{b}=\overline{ab}$$\overline{a}+\overline{b}=\overline{a+b}$. Básicamente, esto refleja la complejidad de avión sobre el eje real, y, al hacerlo, se conserva la multiplicación y la suma. Sin embargo, para cualquier número real $\overline{x}=x$. Podemos usar esto de la siguiente manera:
Supongamos $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots a_1x + a_0$ es un polinomio real con los valores de coeficiente. Entonces, podemos calcular, para cualquier número complejo a $z$ que:
$$\overline{f(z)}=f(\overline z)$$
que está probado, ya que, por ejemplo, $\overline{a_n z^n}=\overline{a_n} \cdot \overline{z^n}=a_n \overline{z}\,\! ^n$ desde $a_n$ es real. En particular, esto significa que, supongamos que $a+bi$ es una raíz de $f$. Entonces así debe de $a-bi$ ser una raíz de $f$ - es decir, el complejo de raíces vienen en los llamados "conjugado pares".
Podemos aprovechar esto de la siguiente manera: Un polinomio $f(x)$ es el producto del coeficiente inicial, $a_n$, y de los términos de $(x-z_i)$ donde $z_i$ es una secuencia de la indexación de sus raíces. Ahora, si $z_i$ es real, entonces estamos bien, porque es un factor linear. El cuadrática factores surgen debido a que, en lugar de escribir, por un complejo de raíz de $a+bi$ y su conjugado $a-bi$ el producto $(x-a-bi)(x-a+bi)$, la participación de términos complejos, podemos multiplicar la expresión para recibir $(x^2 - 2ax + a^2 + b^2)$ que es una ecuación cuadrática en $x$ con coeficientes reales. Haciendo esto con todos los factores, vemos que el polinomio se puede escribir como un producto de lineales y cuadráticas factores.