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0 como único valor propio de una matriz

Quiero demostrar la siguiente afirmación :

Dejemos que $B$ sea una matriz, tal que $B$ tiene el valor propio $0$ y ningún otro valor propio. Entonces $B^2=0$ .

En el contexto de la declaración, $B$ es de tamaño $2$ . ¿Es necesaria esta hipótesis para que se cumpla la afirmación?

¿Cómo demostrar la afirmación?

14voto

Joe Lencioni Puntos 4642

Sí, la condición de tamaño en $B$ es necesario: tomar $B=\left[\matrix{ 0&1&1\cr 0&0&1\cr0&0&0}\right]$ .


Para $B$ a $(2\times 2)$ matriz, escriba lo que la ecuación $\text{det}(B-\lambda I)=\lambda^2$ te da. Deducirás que tanto la traza como el determinante de $B$ son 0. Así que $B$ tiene la forma $\left[ \matrix{a&b\cr c& -a}\right]$ donde $a^2+bc=0$ . Entonces $B^2= \left[ \matrix{a^2+bc&ab+b(-a )\cr ca+ (-a)c& cb+(-a)^2}\right] = \left[ \matrix{0&0\cr0& 0}\right]. $

14voto

Saif Bechan Puntos 3916

El polinomio característico $f$ de $B$ tiene grado 2 y como 0 es un valor propio de B tiene 0 como raíz, por lo que $f$ se divide en factores lineales: $f(X) = X(X-a)$ para algunos $a$ . Dado que 0 es el único valor propio debemos tener $a=0$ Por lo tanto $f(X) = X^2$ . Por el teorema de Cayley-Hamilton, $0 = f(B) = B^2$ .

0voto

you Puntos 1660

Dejemos que $B=\left[\matrix{ a&b\cr c&d\cr}\right]$

Si $B$ tiene un valor propio $0$ entonces no es invertible, lo que significa que det $B=ad-bc=0$ .

Los valores propios de una matriz son las raíces de su polinomio característico

det $(B-\lambda I)=\lambda^2-(a+d)\lambda +(ad-bc)=\lambda(\lambda - (a+d))$

Sabemos que los únicos valores propios son $0$ Por lo tanto $a=-d$ . Sustituyendo esto en la expresión del determinante, obtenemos $bc = -a^2$ . Ahora puede calcular $\left[\matrix{ a&b\cr c&{-a}\cr}\right]^2=0$

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