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Base en la mecánica cuántica

Mi mecánica cuántica libro de texto (manual de la Mecánica Cuántica, por Marvin Chester) dice que tanto el impulso del espacio y de la posición del espacio son la base de los espacios. También dice que el impulso que el espacio está cuantificada, mientras que la posición del espacio es un continuo. Tengo dos preguntas:

  1. Es el hecho de que el impulso del espacio y de la posición del espacio son la base de los espacios de un resultado experimental o algo que puede ser derivada de la más básica de las leyes?

  2. Quiero aprender de mi curso de álgebra lineal que cualquier base de un espacio vectorial debe tener el mismo número de elementos. Pero el impulso espacio contables y la posición del espacio es incontable (para una partícula confinada en un anillo en forma de pista). ¿Cómo pueden ser ambas bases de un mismo espacio vectorial?

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Nick Puntos 583

En primer lugar, el término "espacios" no es estándar en la física cuántica, pero supongamos que entendemos lo que las sentencias de aproximadamente media.

Segundo, el impulso es continua (no cuantificada) si la posición del espacio es noncompact (infinito). El impulso sólo se convierte en cuantificada si la posición del espacio es compacto (o periódico), y, de hecho, se ha verificado experimentalmente que el impulso es cuantificada por ejemplo, en el potencial de bien.

Tercero, el mismo espacio de Hilbert (más precisamente, aparejado espacio de Hilbert, etc.) puede tener tanto contables e incontables (marcado por el continuo de los números) de bases. No hay ninguna contradicción, porque en este nivel de precisión, la cardinalidad de la base no tiene un impacto en el "tamaño" del espacio de Hilbert como el tiempo es infinito-dimensional. Ver, por ejemplo,

http://motls.blogspot.com/2014/02/cardinality-of-bases-doesnt-matter-for.html?m=1

Así, por ejemplo, una partícula en la línea descrita por el espacio de Hilbert complejo de funciones con valores de $\psi(x)$ que puede ser construido a partir de la continua "bases" de la posición de los autoestados; o como superposiciones del oscilador armónico de la energía autoestados (esta base es contable). Desde el punto de vista de un matemático que le gusta pensar acerca de la cardinalidad de los conjuntos, las bases pueden ser "diferente de los grandes". Pero desde el punto de vista de la física, son igualmente grandes.

Es completamente común y normal en la mecánica cuántica que algunos operadores han espectros continuos, otros operadores han discretos espectros y otros operadores que se han mezclado (discrete más continua) de los espectros. Ellos todavía pueden tener bases de autoestados – que son exactamente suficiente para escribir cada vector como una superposición lineal. Para el discretos bases, la superposición lineal es escrita como una suma; por el continuo bases, la combinación lineal es escrito como una integral (y tiene que ser apoyada por algunos extendida axiomática del sistema de "aparejado espacios de Hilbert", etc. siendo rigurosos); de mezcla de bases, la superposición es la suma de la suma y la integral.

Los operadores continuos, discretos, y se mezclan los espectros deben ser consideradas como "igual de bueno que los operadores" desde el punto de vista de la física. De hecho, el Hamilton – el operador de la energía que rige el tiempo de evolución pueden tener discreta, continua, o una mezcla de los espectros y la respuesta a menudo requiere de complicados cálculos dinámicos: no es de ninguna manera decidida "a priori" si el Hamiltoniano debe tener un discreto parte del espectro. Su espectro tiene una parte diferenciada (el espectro es discreto o mixta) si el Hamiltoniano admite "enlazados a los estados" y por lo general no puede ser adivinado "inmediatamente" si tal enlazados a los estados existen.

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user41451 Puntos 139

Respuesta a la pregunta uno : El Principio de la Mecánica Cuántica por R. Shankar página 149 lee "Salvo un par de excepciones, la ecuación de schrödinger es siempre resuelven en una determinada base. A pesar de todas las bases son iguales matemáticamente, algunos son más iguales que otros. Primero de todo, ya que H = H(X,P), la X y la P base recomendar....La elección entre los dos depende de la Hamiltoniana." Básicamente la elección de la base depende de la forma en que el Hamiltoniano. En la base en la que el Hamiltoniano tiene la forma más simple es elegido para la facilidad de los cálculos. Algunos problemas son igualmente fáciles de resolver en múltiples bases por ejemplo, el Oscilador Armónico problema es igual de fácil de resolver en la X y la P de la base.

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