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¿Cuántos triángulos pueden formar los vértices de un polígono regular de n lados?

¿Cuántos triángulos pueden formar los vértices de un polígono regular de $n$ ¿Los lados? ¿Y cuántos si ningún lado del polígono ha de ser un lado de ningún triángulo?

No tengo ni idea de por dónde debo empezar a pensar. ¿Puede alguien darme alguna idea?


Utilizar la combinación o la permutación

25voto

Harish Chandra Rajpoot Puntos 19636

Consideremos un polígono regular con $n$ número de vértices $\mathrm{A_1, \ A_2,\ A_3, \ A_3, \ldots , A_{n-1}}$ & $\mathrm{A_{n}}$

Número total de triángulos formados al unir los vértices de un polígono regular de n lados $$N=\text{number of ways of selecting 3 vertices out of n}=\color{}{\binom{n}{3}}$$ $$N=\color{red}{\frac{n(n-1)(n-2)}{6}}$$ $\forall \ \ \color{blue}{n\geq 3}$

Considere un lado $\mathrm{A_1A_2}$ de n-polígonos regulares. Para obtener un triángulo con un solo lado $A_1A_2$ común (Como se muestra en la figura-1 a continuación)

Figure-1 ( figura-1 )

Unir los vértices $A_1$ & $A_2$ a cualquiera de $(n-4)$ vértices, es decir $A_4, \ A_5,\ A_6, \ \ldots \ A_{n-1}$ para obtener triángulos con un solo lado común. Por lo tanto, hay $(n-4)$ diferentes triángulos con un solo lado $A_1A_2$ común. Del mismo modo, hay $(n-4)$ diferentes triángulos con un solo lado $A_2A_3$ común y así sucesivamente. Por lo tanto, hay $(n-4)$ diferentes triángulos con cada uno de $n$ lados comunes. Por lo tanto, el número de triángulos $N_1$ que sólo tiene un lado común con el del polígono $$N_1=\text{(No. of triangles corresponding to one side)}\text{(No. of sides)}=\color{blue}{(n-4)n}$$

figure-2 ( figura-2 )

Ahora, une los vértices alternativos $A_1$ & $A_3$ por una línea recta (azul) para obtener un triángulo $A_1A_2A_3$ con dos lados $A_1A_2$ & $A_2A_3$ común. Del mismo modo, unir vértices alternativos $A_2$ & $A_4$ para conseguir otro triángulo $A_2A_3A_4$ con dos lados $A_2A_3$ & $A_3A_4$ común y así sucesivamente (como se muestra en la figura-2 anterior). Por lo tanto, hay $n$ pares de vértices alternativos y consecutivos para obtener $n$ diferentes triángulos con dos lados comunes (La figura 2 muestra $n$ líneas de diferentes colores para unir vértices alternativos y consecutivos). Por lo tanto, el número de triángulos $N_2$ que tiene dos lados comunes con el del polígono $$N_2=\color{blue}{n}$$ Si $N_0$ es el número de triángulos que no tienen ningún lado común con el del polígono entonces tenemos $$N=N_0+N_1+N_2$$ $$N_0=N-N_1-N_2$$ $$=\binom{n}{3}-(n-4)n-n$$ $$=\color{}{\frac{n(n-1)(n-2)}{6}-n^2+3n}$$ $$N_0=\color{red}{\frac{n(n-4)(n-5)}{6}}$$ La fórmula anterior $(N_0)$ es válido para el polígono que tiene $n$ número de lados tal que $ \ \ \color{blue}{n\geq 6}$

4voto

EchoMike444 Puntos 111

número total de triángulos formados al unir los vértices de un polígono de n lados $$= \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$$ es decir, selección de 3 puntos entre n puntos = n(C)3 $\implies$ también puede escribirse como la suma del número de triángulos formados en los tres casos siguientes,

1) no de triángulos con un solo lado común con el polígono, si tomamos un lado cualquiera de un polígono de n lados y unimos sus vértices a los vértices restantes, excepto los vértices adyacentes a los vértices de la línea tomada anteriormente, obtenemos triángulos con un solo lado en común, es decir, para 1 lado obtenemos (n-4) triángulos $\implies$ n(n-4) triángulos para n lados. caso I
2) número de triángulos con dos lados comunes, si tomamos un lado cualquiera de un polígono de n lados unimos su vértice con su vértice opuesto se forma el triángulo requerido. Por lo tanto, el número de triángulos = n caso II

3) triángulos sin lado común $$= \text{total - (Case I + Case II)}$$ $$=\left[\frac{n(n-1)(n-2)}{6}\right]-\left[n(n-4) + n\right]$$ $$=\frac{n(n-4)(n-5)}{6}$$

1voto

El número de triángulos con dos lados comunes con el polígono regular que tiene $n$ número de lados $$=\text{number of sides in polygon}=n$$ Hay $n-4$ opciones para formar el triángulo con un lado común con el polígono por lo tanto el número de triángulos con un lado común con el polígono regular teniendo $n$ número de lados $$=n(n-4)$$ Número total de triángulos formados al unir los vértices de un polígono regular que tiene $n$ número de lados $$=^{n}C_3$$ El número de triángulos sin lado común con el polígono regular que tiene $n$ número de lados $$=^nC_3-n-n(n-4)$$

0voto

Para resolverlo, vamos a dividir el problema en $3$ partes:

Parte 1:

Número total de triángulos que se pueden formar sin ninguna restricción $=nC3$

[elegir tres puntos de $n$ puntos]

Segunda parte:

Elijamos triángulos con $1$ lado común con el polígono.

Número total de estos triángulos $=nC1*(n-4)C1$

[Por $nC1$ estamos eligiendo un lado cualquiera del polígono(que va a ser un lado del triángulo) y por $(n-4)C1$ estamos eligiendo el vértice del triángulo opuesto a la línea elegida.Allí hemos utilizado $(n-4)$ ya que se excluyen los puntos de la línea y los puntos vecinos, porque no se trata de dos lados comunes].

Parte 3:

Aquí estamos eligiendo triángulos con dos lados comunes al polígono. Podemos hacerlo mediante $nC1$ formas .

[Estamos eligiendo el vértice común a los dos lados comunes, lo que puede hacerse en $nC1$ formas].

Así que si restamos la parte $2$ y $3$ de la parte $1$ obtendremos el resultado deseado. Así, el resultado final es $nC3-nC1*(n-4)C1-nC1$

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