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Conflicto de definiciones de la "continuidad" del ordinal funciones con valores en los ordinales

Me he encontrado con el siguiente definición en Kunen, Levy y otros lugares: Una función de $\mathbf{F}:\mathbf{ON}\to\mathbf{ON}$ es continua si para cada límite ordinal $\lambda$,$\mathbf{F}(\lambda)=\sup\{\mathbf{F}(\alpha):\alpha<\lambda\}$. Voy a decir que ese $\mathbf{F}$ son de forma ordinal continua.

Si tenemos en cuenta $\mathbf{ON}$ en el orden de la topología, esta definición de continua coincide con topológico de continuidad para no decreciente $\mathbf{F}:\mathbf{ON}\to\mathbf{ON}$. Si queremos eliminar ese requisito, sin embargo, hay funciones que son de forma ordinal continua, pero no topológicamente continua, y viceversa. Por ejemplo, la definición de $$\mathbf{F}(\xi)=\begin{cases}0 & \text{if }\xi=2\!\cdot\! n\!+\!1\text{ for some }n<\omega\\\xi & \text{otherwise}\end{cases}\qquad\text{and}\qquad\mathbf{G}(\xi)=\begin{cases}\omega+1 & \text{if }\xi=0\\\omega & \text{if }0<\xi<\omega\\\xi & \text{otherwise,}\end{cases}$$ then $\mathbf{F}$ is ordinally but not topologically continuous, and $\mathbf{G}$ es topológicamente, pero no de forma ordinal continua.

Antes de proceder a pedir a mi pregunta, permítanme aclarar una cosa. Cuando hablo de una "topología" en la $\mathbf{ON}$, yo no estoy hablando de algo que formalmente existe en ZF(C), como una criatura sería una clase de (a veces correcta) clases. En su lugar, vamos a describir las topologías" en la $\mathbf{ON}$ indirectamente de la siguiente manera. Vamos a decir que una clase $\mathbf{B}$ de los conjuntos de los números ordinales es una base de clase iff $$\forall U\!,V\!\!\in\!\mathbf{B}\;\forall\alpha\!\in\! U\cap V\;\exists W\!\!\in\!\mathbf{B}\;(\alpha\in W\subseteq U\cap V).$$ Given a basis class $\mathbf{B}$, we'll say that a subclass $\mathbf{M}$ of $\mathbf{A}$ is "($\mathbf{B}$-)abrir" iff de uno de los siguientes sostiene:

(i) $\mathbf{M}=\mathbf{ON}$

(ii) $\forall\alpha\!\in\!\mathbf{M}\;\exists U\!\in\!\mathbf{B}\;(\alpha\!\in\!U\!\subset\!\mathbf{M}).$

Para una mayor discusión de por qué he elegido estas definiciones de base de la clase y la apertura, ver este post.

Pregunta: ¿hay una manera de "topologize" $\mathbf{ON}$ de manera tal que la forma ordinal funciones continuas $\mathbf{ON}\to\mathbf{ON}$ son precisamente los topológicamente funciones continuas $\mathbf{ON}\to\mathbf{ON}$? Si es así, ¿un ejemplo? Si no, ¿cómo se puede demostrar que no hay ninguna forma?

Observación: Cuando se considere $\mathbf{ON}$ en el orden de la topología, el límite de los números ordinales y límite de puntos son idénticos. Sería, por supuesto, será ideal para encontrar una topología en la que este todavía se mantienen y donde topológicamente continua y de forma ordinal funciones continuas son el mismo, pero yo todavía estaría interesado en cualquier topología de satisfacer solamente el último.


Objetivos: (A) me gustaría generalizar Brian M. Scott resultado desde abajo, a otros el límite de los números ordinales. En otras palabras, suponiendo que $\mathbf{ON}$ ha sido "topologized" de tal manera que "de forma ordinal continuo" y "topológicamente continua" son idénticos, me gustaría determinar para qué límite ordinales $\lambda$ podemos concluir que $[0,\lambda]$ está contenida en todas las clases abiertas que contengan $\{\lambda\}$. (Brian mostró que esta propiedad tiene para $\lambda=\omega$. ¿Esta presionado para todos los límites de los números ordinales $\lambda$? Sólo al $\lambda$ es un aleph? Sólo al $\lambda$ es regular aleph? Sólo al $\lambda=\omega$? Sólo cuando [llene el espacio en blanco de manera apropiada]?

(B) me gustaría encontrar un contraejemplo similar a $\mathbf{B}_1$ (a partir de mi respuesta a continuación) que satisface la condición de que el límite de límite y de los ordinales son idénticos.

Si usted me puede ayudar con (A) o (B), pero todavía no contestar a mi pregunta abarcadora, hágamelo saber y voy a hacer una nueva pregunta para que la conteste. (Heck, incluso me voy a dar una parte de la recompensa que se ofrece en esta pregunta, si es una buena respuesta.)

9voto

Simon Hayter Puntos 145

Definir la clase $\mathcal{C} := \{F: {\bf ON}\to {\bf ON}: \forall \mbox{ limit } \lambda \; F(\lambda) = \sup(F(\alpha) | \alpha < \lambda)\}$. Y te preguntas: ¿existe una topología $T$ en los ordinales tal que $\mathcal{C}$ contiene exactamente las funciones continuas en $T$?

En cualquier topología, si $f$ $g$ son continuas entonces también lo es su composición $g \circ f$. Los siguientes son en $\mathcal{C}$:

$$f: \alpha \mapsto \begin{cases} {2\alpha} \quad\mbox{if } \alpha < \omega ,\\ \alpha \quad\text{otherwise}; \end{casos}$$

$$g: \alpha \mapsto \begin{cases}0 \quad \mbox{if } \alpha < \omega \text{ and $\alpha$ es aún} ,\\ \alpha \quad \text{en caso contrario}. \end{casos}$$ (En inglés, $f$ dobles finito de números, $g$ aniquila finito de números, y en todas partes son el mapa de identidad.)

Sin embargo, la composición de la $g \circ f (\alpha)$ toma el valor de $0$ finitas $\alpha$, pero el valor de $\omega$$\alpha = \omega$. De modo que no se encuentran en $\mathcal{C}$. Por lo tanto $\mathcal{C}$ no puede contener exactamente las funciones continuas de cualquier topología.

5voto

DiGi Puntos 1925

No se puede hacer si usted requiere de los elementos de la topología (aparte de $\mathbf{ON}$, por supuesto) se establece.

Si $\omega$ es un punto aislado, la función

$$\mathbf{F}(\xi)=\begin{cases} 0,&\text{if }\xi<\omega\\ \xi&\text{if }\xi\ge\omega \end{casos}\etiqueta{1}$$

es topológicamente continua, pero no de forma ordinal continua, por lo que asumir que $\omega$ no es un punto aislado. Supongamos que $\omega$ tiene un abrir nbhd $V$ disjunta de un infinito $A\subseteq\omega$ donde $V$ es un conjunto. Deje $\lambda$ ser un límite ordinal mayor que cualquier elemento de a $V$, y deje $\{a_n:n\in\omega\}$ será cada vez más una enumeración de $A$. Entonces

$$\mathbf{F}(\xi)=\begin{cases} a_\xi,&\text{if }\xi\in \omega\\\ \omega,&\text{if }\xi=\omega\\ \lambda+\xi,&\text{if }\xi>\omega \end{casos}$$

es de forma ordinal continua pero no topológicamente continua: $\mathbf{F}^{-1}[V]=\{\omega\}$.

Ahora supongamos que $\omega\setminus V$ es finito para cada nbhd $V$$\omega$, pero hay un $n\in\omega$ y un nbhd $V$ $\omega$ tal que $n\notin V$. Deje $\lambda$ a ser como antes. Entonces

$$\mathbf{F}(\xi)=\begin{cases} n,&\text{if }\xi\in\omega\text{ is even}\\ \xi,&\text{if }\xi\in \omega\text{ is odd}\\ \omega,&\text{if }\xi=\omega\\ \lambda+\xi,&\text{if }\xi>\omega \end{casos}$$

es de forma ordinal, pero no topológicamente continua.

La única posibilidad es que cada nbhd de $\omega$ contiene $[0,\omega]$. En ese caso $(1)$ no está de forma ordinal continua, pero si no es topológicamente continua, entonces tampoco es el mapa de identidad.

Agregado: Como Cameron muestra con la inteligente ejemplos en su respuesta, mi primer y cuarto afirmaciones son falsas. (Sospecho que estaba inconscientemente pensando sólo en $T_1$ topologías, a pesar de que puede no ser suficiente para salvarlos.) Para garantizar la continuidad topológica de $(1)$, debería haber asumido no sólo que el punto de $\omega$ es punto aislado, sino que el conjunto de $\omega$ es clopen. Entonces si $0\notin V$, $\mathbf{F}^{-1}[V]=V\setminus\omega$, y si $0\in V$, $\mathbf{F}^{-1}[V]=V\cup\omega$, ambos de los cuales están abiertos si $V$ es.

(Probablemente voy a tener más adelante.)

2voto

Lockie Puntos 636

Considere la posibilidad de las clases $$\mathbf{B}_0=\bigl\{\{0\},\{\omega\}\bigr\}\cup\bigl\{\{\alpha,\omega\}:0<\alpha<\omega\bigr\}\cup\bigl\{\{0,\alpha\}:\alpha>\omega\bigr\}$$ and $$\mathbf{B}_1=\bigl\{\{0\}\bigr\}\cup\bigl\{\{\alpha+1\}:\alpha>0\bigr\}\cup\bigl\{[0,\omega\cdot 2\cdot\beta):\beta>0\bigr\}.$$ Both classes have the nice property that for each $\alfa$, there is a $\subseteq$-least set $V$ in the class such that $\alpha\en V$, lo cual es suficiente para demostrar que son la base de las clases, como se define arriba.

En la "topología" inducido por $\mathbf{B}_0$, podemos ver que $0,\omega$ el (único) puntos aislados, por lo que con $\mathbf{F}$ $(1)$ de Brian respuesta, vemos que $\mathbf{F}^{-1}\bigl[\{0\}\bigr]=\omega$ no está abierto, ya que (por ejemplo) no contiene nbhd de $1$ ( $\omega\notin\omega$ ), pero $\{0\}$ es abierto, por lo $\mathbf{F}$ no es topológicamente continua, aunque $\omega$ es aislado.

En la "topología" inducido por $\mathbf{B}_1$, vemos que los puntos aislados son, precisamente, $0$ y el sucesor ordinales otros de $1$, por lo que casi tiene la propiedad "punto límite iff límite ordinal"--y el $\subseteq$-menos nbhd de $\omega$$[0,\omega\cdot 2)$, por lo que cada nbhd de $\omega$ contiene $[0,\omega]$. Pero $[0,\omega\cdot 2)$ $\subseteq$- menos nbhd de $1$, así que de nuevo, $\mathbf{F}^{-1}\bigl[\{0\}\bigr]=\omega$ no está abierta, y por la misma razón, aunque $\{0\}$ es abierto, por lo $\mathbf{F}$ no es continua. Sin embargo, la identidad de la función $\mathbf{ON}\to\mathbf{ON}$ es continua--necesariamente, ya que es un homeomorphism, como un bijective abrir mapa que es su propia inversa.


A partir de Brian respuesta, sin duda podemos concluir que las condiciones necesarias para una topología del tipo que busco son que (1) $\omega$ es aislado o (2) $\omega$ es un punto límite y cada nbhd de $\omega$ contiene $[0,\omega]$. Que sustancialmente se estrecha mis opciones, así que de nuevo, quiero agradecer a Brian M. Scott para su respuesta. Ninguna de estas topologías satisface "topológicamente continua iff de forma ordinal continua". De hecho, en ambos casos, ni la continuidad implica la otra. La definición de $$\mathbf{F}_0(\xi)=\begin{cases}\omega & \text{if }\xi=0\\0 & \text{if }0<\xi<\omega\\\xi & \text{otherwise}\end{cases}\qquad\text{and}\qquad\mathbf{G}_0(\xi)=\begin{cases}0 & \text{if }0<\xi\le\omega\\\omega & \text{otherwise,}\end{cases}$$ we see that, in the "topology" induced by $\mathbf{B}_0$, $\mathbf{F}_0$ is ordinally but not topologically continuous, and $\mathbf{G}_0$ is topologically but not ordinally continuous. Defining $$\mathbf{F}_1(\xi)=\begin{cases}\omega\cdot 2 & \text{if }\xi=0\text{ or }\xi=\omega\\0 & \text{if }0<\xi<\omega\\\xi & \text{otherwise}\end{cases}\qquad\text{and}\qquad\mathbf{G}_1(\xi)=\begin{cases}\omega\cdot 2 & \text{if }\xi=1\text{ or }\xi=\omega\\\omega\cdot 2+\xi & \text{if }\xi\ge\omega\cdot 2\\0 & \text{otherwise,}\end{cases}$$ we see that, in the "topology" induced by $\mathbf{B}_1$, $\mathbf{F}_1$ is ordinally but not topologically continuous, and $\mathbf{G}_1$ is topologically but not ordinally continuous. If you can't see why one or more of the $4$ anteriores afirmaciones son verdaderas, hágamelo saber, y yo voy a dar la justificación(s).

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