Desde $\cos^2(x)=\frac{\cos(2x)+1}{2}$, tenemos
$$
\cos^4(x)=\bigg(\frac{\cos(2x)+1}{2}\bigg)^2=
\frac{\cos^2(2x)+2\cos(2x)+1}{4}=
\frac{\cos(4x)+4\cos(2x)+3}{8} \etiqueta{1}
$$
Por inducción en $n$, para cada $n>0$ hemos
$$
\cos^4(x+n)=a_n\cos(4x)+b_n\sen(4x)+c_n\cos(2x)+d_n\sin(2x)+e_n \etiqueta{2}
$$
donde las secuencias $a_n,b_n,c_n,d_n,e_n$ son definidos por
$a_0=\frac{1}{8},b_0=0,c_0=\frac{1}{2},d_0=0,e_0=\frac{3}{8}$ y la recurrencia de la relación
$$
\left(\begin{matrix} a_{n+1} \\ b_{n+1} \\ c_{n+1} \\ d_{n+1} \\ e_{n+1} \end{de la matriz}\right)=
B \times
\left(\begin{matrix} a_{n} \\ b_{n} \\ c_{n} \\ d_{n} \\ e_n \end{de la matriz}\right),
\text{ con }B=
\left(\begin{matrix}
\cos(4) & \sin(4) & 0 & 0 & 0 \\
-\sin(4) & \cos(4) & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \cos(2) & \sin(2) & 0 \\
0 & 0 & -\sin(2) & \cos(2) & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{de la matriz}\right) \etiqueta{3}
$$
El polinomio característico de a $B$ es
$$
\begin{array}{lcl}
\chi_B &=& (X^2-2\cos(2)X+1)(X^2-2\cos(4)X+1)(X-1) \\
&=& X^5-(1+2\cos(2)+2\cos(4))X^4
+(2+4\cos(2)+2\cos(4)+2\cos(6))X^3\\
& & -(4\cos(4)+2)X^2+(1+2\cos(2)+2\cos(4))X-1
\end{array} \etiqueta{4}
$$
Por el Cayley Hamilton-teorema, tenemos por cualquier $x$,
$$
\begin{array}{lcl}
\cos^4(x+5)&=&
(1+2\cos(2)+2\cos(4))\cos^4(x+4) \\
& & -(2+4\cos(2)+2\cos(4)+2\cos(6))\cos^4(x+3) \\
& & +(4\cos(4)+2)\cos^4(x+2) \\
& & +(1+2\cos(2)+2\cos(4))\cos^4(x+1)-\cos^4(x)
\end{array}
\etiqueta{5}
$$
Así que para cualquier $n$, matriz $A_n$ tiene rango en la mayoría de los $5$. En particular,
${\sf det}(A_n)=0$ $n\geq 6$.
Nota : el rango de $A_n$ es exactamente $5$$n\geq 6$, debido a que
el $\cos(kx) (k\geq 0)$ son linealmente independientes.