6 votos

Convergencia de una secuencia recursiva

Un amigo me dio el siguiente problema:

Deje $c$ ser cualquier número real positivo. Definir una secuencia de forma recursiva por $$a_0=c,\;\text{and }\; a_n=c^{a_{n-1}}\;\text{for }\;n=1,2,\ldots$$ Para qué valores de a $c$ no esta secuencia converge?

El problema es más complicado de lo que parece, ya que creo que hay valores de $c>1$ para que la secuencia converge, y también los valores de $0<c<1$ para que la secuencia se bifurca. Se supone que esta es capaz de ser resuelto por el primer año de cálculo estudiante, de manera elemental los métodos preferidos son.

Una segunda pregunta: Supongamos que la respuesta a la primera pregunta es un conjunto $D\subset\mathbb{R}^+$. A continuación, tenemos una función definida por el $f:D\rightarrow\mathbb{R}$ $f(c)=L_c$ donde $L_c$ es el límite de la secuencia definida anteriormente. Es $f$ continua? Es $f$ diferenciable?

Gracias!

5voto

NECing Puntos 3049

Esta operación se conoce como Tetration.

Como se indica en wikipedia, Euler demostró que converge para $e^{-e}\leq c\leq e^{1/e}$ y diverge si no.

1voto

Daniel Geisler Puntos 413

Definir $A=a_\infty$$c^A=A$, $A$ es un punto fijo de $c^z$. Considerar que para que una infinitesimal $dz$

$c^{A+dz}=c^{dz} c^A =c^{dz} A = (1+ \ln(c){dz})A = A+ \ln(c^A){dz} = A+ \ln(A){dz}$.

Así exponenciación mapas de ${A+dz}$ a $A+ \ln(A){dz}$ o, más sencillamente, ${dz}$ a $\ln(A){dz}$. Pero esto significa que $\ln(A)$ es el multiplicador o de Lyapunov característica en $A$ del punto fijo de $c^z$.

La pregunta ahora es ¿dónde está el multiplicador exactamente en el círculo unidad. Para multiplicadores en el interior del círculo unidad hemos de convergencia y con el multiplicador fuera del círculo unidad tenemos divergencia. Por lo tanto, $\ln(A) = exp(2 \pi i x)$ $A = exp(exp(2 \pi i x))$ donde $x$ varía de cero a uno.

Desde $a^A=A$, $A^\frac{1}{A} = a $. Por lo que la curva de $exp(exp(2 \pi i x))^{exp(exp(2 \pi i x))^{-1}}$ da el límite de convergencia.

Ver Proyectivas De Los Fractales.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by: