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Una forma fácil de memorizar los valores del seno, coseno y tangente

Mi profesora de matemáticas nos dijo recientemente que quería que fuéramos capaces de responder $ \sin\left ( \frac { \pi }{2} \right )$ en nuestra cabeza en el momento de la explosión. Sé que puedo memorizar la mesa para la prueba para este viernes, pero es probable que la olvide después de la prueba. Entonces, ¿hay algún truco o patrón que suelen usar para recordarlo? Por ejemplo, la SOHCAHTOA nos dice lo que significan realmente el seno, el coseno y la tangente. enter image description here

Si no, memorizaré la mesa. Pero sólo quería saber qué técnicas de memorización usan ustedes. Siento que este es el lugar perfecto para preguntar, porque apuesto a que un montón de gente en el intercambio de matemáticas, también tuvo que pasar por lo mismo en el primer año de la universidad.

Oh, aquí hay una foto del círculo de la unidad:

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108voto

Stephen Schrauger Puntos 126

Fíjese en el patrón:

$$ \sin 0^{ \circ } = \frac { \sqrt {0}}{2}$$ $$ \sin 30^{ \circ } = \frac { \sqrt {1}}{2}$$ $$ \sin 45^{ \circ } = \frac { \sqrt {2}}{2}$$ $$ \sin 60^{ \circ } = \frac { \sqrt {3}}{2}$$ $$ \sin 90^{ \circ } = \frac { \sqrt {4}}{2}$$

Esto es algo así como una coincidencia matemática hasta donde yo sé, así que no intente extender esto a otros ángulos; y va hacia atrás por $ \cos $ . Una vez que los tengas, puedes encontrar los otros ángulos que quieras dibujándolos en el círculo de la unidad y averiguando si los valores deben ser positivos o negativos, si deben ser $0$ o $1$ o de otra manera si son "pequeños" ( $ \frac {1}{2}$ ), "medio" ( $ \frac { \sqrt {2}}{2}$ ) o "grande" ( $ \frac { \sqrt {3}}{2}$ ).

31voto

Nuts Puntos 51

El coseno va horizontalmente (desde el eje y), el seno va verticalmente (desde el eje x).

Considerando los tres "puntos principales" del círculo de la unidad, $30^ \circ ,45^ \circ ,60^ \circ $ (o $ \frac \pi 6, \frac \pi 4, \frac \pi 3$ rads)...

De cada eje,

  • la "larga" distancia es $ \frac { \sqrt3 } 2$
  • la distancia "media" es $ \frac { \sqrt2 } 2$
  • la distancia "corta" es $ \frac {1} 2$

Cuando vayas horizontalmente a la izquierda, el valor del coseno será negativo, y de manera similar para el valor del seno cuando vayas verticalmente hacia abajo.

El verde es el coseno, el rojo es el seno:

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14voto

bof Puntos 19273

No esperaría que un estudiante memorizar funciones de trigonación de ángulos fáciles. (Nunca las memoricé yo mismo.) Esperaría que un estudiante tuviera suficiente comprensión para poder para que los descubran en segundos.

Las funciones de trigonometría para $30^ \circ ,45^ \circ ,60^ \circ $ se basan en dos simples figuras geométricas: la cuadrado y el triángulo equilátero .

El cuadrado tiene cuatro lados de igual longitud, que tomamos como $1$ . Tiene cuatro ángulos iguales de $90^ \circ. $

A continuación, corta el cuadrado a lo largo de la diagonal, haciendo dos triángulos. Cualquiera de estos triángulos tiene ángulos de $90^ \circ ,45^ \circ ,45^ \circ $ no hay necesidad de memorizar $45$ sólo divide $90$ por $2$ . El triángulo tiene dos lados de longitud $1$ Si has memorizado el teorema de Pitágoras, puedes deducir que la longitud del tercer lado es $ \sqrt2. $

Desafortunadamente, tienes que memorizar las definiciones de los senos y la tangente: $ \sin = \text {opp }/ \text { hyp}$ y $ \tan = \sin / \cos. $ El coseno es más fácil: co sine = co El complemento es seno, así que $ \cos\theta = \sin (90^ \circ - \theta ).$

El punto es que puedes leer las funciones de trigonometría de $45^ \circ $ de la $45^ \circ $ - $45^ \circ $ - $90^ \circ $ triángulo: $ \sin45 ^ \circ =1/ \sqrt2 ,\ $ $ \cos45 ^ \circ = \sin (90^ \circ -45^ \circ )= \sin45 ^ \circ =1/ \sqrt2 ,$ y $ \tan45 ^ \circ = \sin45 ^ \circ / \cos45 ^ \circ =(1/ \sqrt2 )/(1/ \sqrt2 )=1.$

A continuación, tome un triángulo equilátero; cada uno de los tres lados tiene longitud $1,$ y cada uno de los tres ángulos es $60^ \circ. $ (No es necesario memorizar $60,$ solo divide $180$ por $3.$ ) Corta el triángulo equilátero por la mitad bisecando un ángulo y mira uno de los triángulos resultantes. Los ángulos son $30^ \circ ,\ 60^ \circ ,$ y $90^ \circ $ los lados son $1$ y $1/2$ y (si todavía tienes a Pitágoras memorizado) $ \sqrt3 /2.$ Desde este triángulo se pueden leer las funciones trigonométricas de $30^ \circ $ y $60^ \circ. $

Resumen ejecutivo. Tomemos los dos polígonos más simples, el triángulo equilátero y el cuadrado. Una bisectriz de ángulo divide cada una de esas figuras en dos triángulos rectos congruentes. Las funciones trigonométricas de $30^ \circ ,60^ \circ ,$ y $45^ \circ $ puede ser leída de esos triángulos .

5voto

Simple Art Puntos 745

Si estás tan adelantado en matemáticas, entonces puede que te hayas encontrado con el plano complejo. Al combinar los dos, ves que cos se refiere a la a y sin se refiere a la b en a+bi. Es decir: $$ \cos ( \theta )+ \sin ( \theta )i$$ Extrañamente, así es como recuerdo mis valores. En particular, he pasado muchas horas investigando las raíces de la unidad, si se inclinan por ello. Encontrarás que las raíces de la unidad se encuentran en este círculo y sigue la ecuación anterior.

Por ejemplo, la segunda raíz de $1$ es $1,-1$ . $ \theta =0,2 \pi , 4 \pi , 6 \pi ,...$ Tomando la segunda raíz es la raíz cuadrada o la división de theta por 2. Si se hace así, entonces vemos $ \theta =0, \pi $ . Conectándolo de nuevo a la ecuación anterior se obtiene $1+0i$ y $-1+0i$ Esto me recuerda que $ \sin (0, \pi )=0$ Hacer, digamos, la duodécima raíz de uno es el equivalente a la mayoría de las posiciones de su círculo de unidad.

Esta es una trigonometría algo avanzada que mi maestro nunca me enseñó (gracias a Dios, rezaron mis amigos), así que asumo que nunca aprenderás esto. Si lo haces, es un bonito... recordatorio.

Además, es una de las únicas formas de comprobar si has acertado en tu respuesta. Por ejemplo, si: $$ \sqrt [3]{1}= \cos (0, \frac {2 \pi }{3})+ \sin (0, \frac {2 \pi }{3})$$ entonces: $$1=( \cos (0, \frac {2 \pi }{3})+ \sin (0, \frac {2 \pi }{3}))^3$$ Si puedes usar el teorema de expansión del binomio desde allí, tus conjeturas de cos y pecado deberían funcionar y de hecho ser iguales a 1.

2voto

Simple Art Puntos 745

Recuerde que $ \sin ^2( \theta )+ \cos ^2( \theta )=1$ . Por ejemplo, si SÓLO recuerdas tu $ \sin $ valores, entonces ves que $$ \cos ( \theta )= \sqrt {1- \sin ^2( \theta )}$$ Por ejemplo, $ \sin ( \frac { \pi }{2})=1$

así que... $$ \cos ( \frac { \pi }{2})= \sqrt {1- \sin ^2 \left ( \frac { \pi }{2} \right )}= \sqrt {1-1^2}= \sqrt {0}=0$$

Así que puedes encontrar $cos$ recordando $sin$ o viceversa.

En segundo lugar, recuerde $$ \tan ( \theta )= \frac { \sin ( \theta )}{ \cos ( \theta )}$$

Podrías simplificar aún más esto usando la fórmula de arriba para obtener: $$ \tan ( \theta )= \frac { \sqrt {1- \cos ^2( \theta )}}{ \sqrt { \cos ^2( \theta )}}= \sqrt { \frac 1{ \cos ^2( \theta )}-1}= \sqrt { \frac 1{1- \sin ^2( \theta )}-1}$$

Utilice una de las fórmulas anteriores para encontrar $ \tan ( \theta )$ .

Entonces tendrás que recordar las fórmulas y un conjunto de valores, digamos, para $ \cos $ .

Entonces recuerda las siguientes reglas: el seno es impar, el coseno es par y la tangente es impar. Esto significa que $ \sin (- \theta )=- \sin ( \theta )$ , $ \cos (- \theta )= \cos ( \theta )$ , $ \tan (- \theta )=- \tan ( \theta )$ .

Podrías tratar de recordar eso en tu círculo de la unidad, $ \sin $ es positivo de 0 a $ \pi $ y negativo de $ \pi $ a 2 $ \pi $ . $ \cos $ es positivo de $- \frac {3 \pi }2$ a $ \frac { \pi } 2$ y negativo de $ \frac { \pi } 2$ a $ \frac {3 \pi } 2$

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