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Comprender la ecuación de Fokker-Planck para procesos no estacionarios

Actualmente, estoy estudiando procesos estocásticos por primera vez en el contexto de la física (Langevin dinámica), y me he encontrado con algunas dificultades conceptuales con respecto a la ecuación de Fokker-Planck que quiero aclarar. La forma general estoy mirando es:

$$\frac{\partial p}{\partial t} = - \frac{\partial }{\partial x} \left( \mu(x,t) \ p \right) + \frac{\partial^2 }{\partial x^2} \left( D(x,t) \ p \right).$$

La condición de contorno es la absorción en el infinito: la probabilidad actual de $$j(x,t) \equiv \mu (x,t) p - \frac{\partial }{\partial x} \left( D(x,t) \ p \right) \to 0, \quad |x| \to \infty \quad \forall t.$$

Aunque esto no es realmente relevante a mis preguntas.

Primero de todo, ¿cuál es la función de $p$ en la ecuación? En las notas que estoy usando, es el condicional pdf: $p = p(x,t|x_0,t_0)$ (esto es realmente cómo la ecuación se deriva). En otros lugares, aunque (por ejemplo, wikipedia), lo que representa la regular pdf: $p = p(x,t)$.

Pregunta 1. Que es? Estoy tentado a decir que no importa, porque por la regla de la probabilidad total,

$$ p(x,t) = \int dx' dt'\ p(x,t|x',t')p(x',t'),$$

así que puede multiplicar el PDE a través de $p(x',t')$ e integrar más de $x'$$t'$, la transformación de la condicional pdf para regular pdf. Si es el regular pdf, entonces puedo sacar la $p(x',t')$ y el de las integrales en la parte delantera y argumentan que la ecuación es verdadera para cualquier $p(x',t')$, por lo tanto la transformación de la regular pdf en el condicional pdf. Es este argumento correcto?

Por supuesto, lo que va a cambiar son las condiciones iniciales, lo que me lleva a mi siguiente punto.

Mis notas sólo considerar los procesos que son la traducción de todos los idiomas, por lo $\mu$ $D$ no tienen dependencia del tiempo, y $p(x,t|x_0,t_0) = p(x,t-t_0|x_0,0) \equiv p(x,t-t_0|x_0)$. A continuación, la condición inicial (para el condicional pdf) es:

$$p(x,0|x_0) = \delta(x-x_0).$$

Después de resolver esto, sé que $p(x,t|x_0)$, por tanto, por la regla de la probabilidad total puedo encontrar $p(x,t)$ mediante la integración en todos los valores de $x_0$, siempre y cuando sé que su distribución inicial $g(x_0)$:

$$p(x,t) = \int dx_0 \ p(x,t|x_0) g(x_0)$$

Por otro lado, si el PDE es para regular pdf, la condición inicial es:

$$p(x,0) = g (x),$$

La solución de este PDE de curso $p(x,t)$ directamente.

Pregunta 2. ¿Cómo puedo extender esto a los no-estacionario procesos? Para el segundo caso (pdf) todo se mantiene igual, creo. Pero en el primer caso (condicional pdf), el cual condición inicial de lo que quiero?

$$p(x,0|x_0,t_0) = \ ?$$

También, ¿cómo puedo recuperar a $p(x,t)$ después de la resolución de $p(x,t|x_0,t_0)$ ? Tengo la distribución inicial $g(x_0)$, pero no los puedo usar el total de la probabilidad el teorema de como antes. Parece que hay un tiempo variable que falta en todo esto? Debe mi nuevo $g$ ser una función de dos variables?

Pregunta 3. El condicional pdf para el proceso estacionario $p(x,t|x_0)$ parece tener la interpretación de la función de Green (que se integra con la condición inicial $g(x)$ de los rendimientos del tratado de total pdf). Pero la ecuación de Fokker-Planck no es de la forma $$L p(x,t) = g(x),$$ with some linear differential operator $L$. In fact, the Fokker-Planck equation is homogeneous. So, for which operator (PDE), if any, is $p(x,t|x_0)$ la función de Green? Creo que tal vez yo entiendo funciones de Green equivocado...

EDIT: me puso una recompensa porque estoy en busca de una respuesta que específicamente frente a las tres preguntas planteadas en detalle.

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flojdek Puntos 12

Usted puede o no puede estar familiarizado con el resultado de que una caminata aleatoria, incluso un uno-dimensional uno con la misma probabilidad para los tipos de pasos, tiene una físicamente hablando bastante extraño comportamiento con respecto a la espera poca distancia a pie.

Imagina un chico borracho en una calle con grandes baldosas, que vaga alrededor sin auto-control. Vamos a fijar un tiempo y de una escala de distancia. Dicen que en cada segundo se hace un paso a través de una ventana, ya sea a la izquierda o a la derecha. Decir en cada segundo, digamos que tienes oportunidad igual para ambos lados. En segundo$t=0$,, tienes

$p(x=0, t=0)=1=1\cdot 2^{0}$

y cero posibilidades para cualquier otra posición. En segundo $t=1$, él se marchó a la izquierda o a la derecha, por lo que

$p(x=0, t=1)=0$

y

$p(x=\pm 1, t=1)=\frac{1}{2}=1\cdot 2^{-1}$

En $t=2$, hay una oportunidad de $\frac{1}{2}^{2}$ ha aterrizado en la parte más exterior posible posición, por lo que

$p(x=\pm 2, t=2)=\frac{1}{4}=1\cdot 2^{-2}$

mientras que hay dos caminos que podría haber llegado a la final en el medio de nuevo

$p(x=0, t=2)=2\cdot 2^{-2} = \frac{1}{2}$

Usted puede calcular la probabilidad de que el siguiente diagrama.

random walk

Aquí es claro ahora que la primera posición tendrá el exponencialmente la caída de oportunidad de $2^{-n}$, porque significaría que usted obtenga por ejemplo, "él fue a la izquierda" $n$ veces en una fila. Por otro lado, hay más y más caminos que se dio la vuelta y venir del banco para el centro.

Es importante destacar que, la distribución de las probabilidades es uno de los que se extiende.

Sin duda, la posición esperada después de cualquier número de (a) pasos de tiempo, el promedio de todos los pasos, es $x(t=n)=0$. Vamos a decir ${\rm E}[X_n]=0$.

Pero el movimiento no es para nada lineal y la distancia esperada (unsigned, prescindiendo de si efectivamente se mueven hacia la izquierda o a la derecha) se vuelve a ir como $n^\tfrac{1}{2}$, es decir,"$|x(t=n)|=\sqrt{n}$". O, a la captura de esta manera más formal, ${\rm E}[X_t^2]=t$ o, por el siguiente párrafo, ${\rm E}[X_t^2]^\tfrac{1}{2}=t^\tfrac{1}{2}$.

Me dijo que esta es físicamente extraño, ya que no se puede representar este típico (sin firmar) la ruta por la de una ODA, como te gustaría hacer en la mecánica 101. La función de $x(t)=\sqrt{t}$ no tiene velocidad

$v(t=0):=\lim_{t\to 0}\lim_{h\to 0}\dfrac{x(t+h)-x(t)}{h}$

en el origen. Está claro a partir de la empinada gráfico de $\sqrt{t}$, en el origen.

La lección es que usted desea utilizar un pdf para describir por ejemplo, un movimiento de las partículas para la situación donde el modelo de paseo aleatorio se aplica, por ejemplo, en los gases, donde el azar pasos vienen de impredecible empuja de otras partículas de todos los lados.

Todo esto puede parecer como un largo precursor, pero la comida para llevar, quiero que obtener de esto es que aquí una desigualdad de poderes surgió en $${\rm E}[X_t^2]=t$$

Usted tiene una unidad de longitud a la potencia de 2 en la izquierda, y una unidad de tiempo para el poder de la 1 a la derecha. Este es el patrón que sigue a través de todo lo relacionado con el proceso Browniano, que proporciona la distribución de esta situación - la información que me capturaron por primera $n=5$ pasos en el discretos caso anterior. La probabilidad w.r.t. $x$ parece $$p_D(x,t) = \dfrac{1}{\sqrt{4\pi}}\left(\dfrac{1}{D\,t}\right)^\frac{1}{2}\exp\left({-\dfrac{1}{D\,t}\left(\dfrac{x}{2}\right)^2}\right)$$

Que la función de densidad es tal que para las pequeñas $t$ es muy nítidas y de alta, porque de la $\frac{1}{\sqrt{t}}$, y luego como $t$ crece se cae y se extiende.

enter image description here

Aquí $D$ regula cómo el tiempo y la longitud de las escalas de interactuar. Usted puede elegir una diferente escala de tiempo y por lo tanto renormalize $D$ a 1.

En este punto quiero hacer una unidad de análisis. Esta es una densidad de w.r.t. $x$, encontrará $\left(\dfrac{1}{D\,t}\right)^\frac{1}{2}$ deben tener las unidades de uno más de longitud, y por lo tanto $D$ es de longitud al cuadrado por hora, es decir, las mismas unidades que $x^2/t$. También puede llegar a la conclusión de $\dfrac{1}{D\,t}\left(\dfrac{x}{2}\right)^2$, por la observación de que el argumento de una potencia de serie como el $\exp$ debe ser la unidad menos. Puede ser vale la pena mencionar que ahora $v_D(t):=\left(\dfrac{D}{t}\right)^\frac{1}{2}$ hace que para una velocidad.

Ahora echa un vistazo a la ecuación diferencial de esta exp-función es la solución de la ecuación de difusión $$\dfrac{\partial}{\partial{}t} p_D(x,t) = D \dfrac{\partial^2}{\partial{}x^2} p_D(x,t)$$

Aquí, de nuevo, compruebe que las unidades. Por este hasta la salida, $D$ deben compartir unidades de $x^2/t$.

Vamos paso a paso atrás y tratar de entender por qué esto describe la difusión en el primer lugar. Considere la función $h(x):=7 x^2$. Tenemos

$\dfrac{\partial^2}{\partial{}x^2} h(x) = 7\cdot 2>0$

Considere la función $k(x):=-5 x^2$. Tenemos

$\dfrac{\partial^2}{\partial{}x^2} k(x) = -5\cdot 2<0$

Las ecuaciones decir que el aumento de la densidad en una posición $x=\zeta$, es decir, la probabilidad de $\dfrac{\partial}{\partial{}t} p_D(x=\zeta, t)$, es igual a la curvatura de la función en la misma posición $x=\zeta$. Ahora mira en las parcelas con las tres $\exp$-funciones publicado anteriormente. Donde la función (o de cualquier función) se comporta cóncava como $-x^2$, la ecuación diferencial que va a robar desde allí, y donde la ecuación es convexa como $+x^2$, la ecuación diferencial se recompensa allí. Esta es también la razón por la que el punto de inflexión de la curva apenas se mueve. La ecuación diferencial que describe una difusión del valor de cóncava a convexa. Y el operador diferencial es lineal, lo que significa que si se superponen dos exponenciales con diferentes puntos centrales, digamos, a continuación, resultante de dos cóncava picos serán castigados de la misma.

La función que describe un borracho movimiento en este sentido. Usted puede decir a $t_0$ una persona se encuentra en $x_0$ ($p(x,t=0|x_0,t_0)=\delta(x-x_0)$ condición inicial que mencionas), y, a continuación, $p(x,t|x_0,t_0)$ será en este contexto en el dar, en el tiempo $t$, $x$- distribución, ya que evolucionó a partir de $x_0$ después de que el tiempo de $\Delta t = t-t_0$ ha pasado. La clásica Verdes función de la aplicación sería cuando usted tiene un eletrical carga que actúa como fuente de campo eléctrico, ${\rm div}\, E=\delta$. Aquí $p$ actúa como una función de Green en que la certeza de la posición$x_0$$t_0$, lo que nos dice cómo el conocimiento se difunde, y si tienes 10 independiente borrachos los hombres no se puede distinguir, entonces usted puede tener 10 densidades que finalmente se funden dejando con uno más o menos plana blob de no sé dónde están ahora. La mayor parte aquí siempre se propaga y se aleja de su ganado picos, no desde una fuente externa.

Su $g$ sería una distribución inicial (no necesita ser de 10 picos agudos), y, naturalmente, dependen $x$, y estar dado por un determinado tiempo $t_0$.

Sí, tan lejos como el contexto en el que su pregunta va, no importa si es una probabilidad condicional y formalmente depende de $x',t'$. La función también podría depender de su madres de cuenta. El diferencial de la igualdad es uno en $x$ $t$ y la normalización es w.r.t. $x$. Y si la condición inicial es uno con un delta en $x_0$, luego de que la solución se ha $x_0$ demasiado de todos modos. Mantener el seguimiento de la $x_0$ es relevante cuando hagas por ejemplo, la ruta de las integrales en la mecánica cuántica (la ecuación de Schrödinger tiene también esta forma, pero con el imaginario $D$), o filtros Kalman/Recursiva de estimación Bayesiana en la fusión de sensores (es decir, cada vez que usted realice cualquier cosa que se ve como una suave versión del teorema de Bayes).

Y una ecuación con los no-constante$D(x,t)$, sólo significa que el pico máximo de la pena se determina localmente. Al igual que fumar marihuana es penalizado de manera diferente en diferentes países. El $\mu$ (compruebe que las unidades) induce un desplazamiento del centro en el tiempo, o un determinista dibujar si se consideran los procesos estocásticos.

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