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Diferencia entre unidades y dimensiones

Aunque esta pregunta pueda parecer relacionada con la Física, creo que en el fondo se trata de una pregunta matemática y por eso la he publicado en math.stackexchange.

Antecedentes: Al principio pensé que los términos unidad y dimensión se referían a lo mismo. Las magnitudes físicas se clasifican en magnitudes físicas fundamentales/básicas y magnitudes físicas derivadas. Una magnitud física fundamental no puede descomponerse en magnitudes físicas más simples, no puede obtenerse a partir de otras magnitudes fundamentales y todas las magnitudes físicas conocidas pueden obtenerse utilizando magnitudes fundamentales. Hay una frase en mi libro que dice

La masa, la longitud, el tiempo, la temperatura termodinámica, la corriente eléctrica, la cantidad de sustancia y la intensidad luminosa son las siete magnitudes fundamentales y suelen denominarse las siete dimensiones del mundo. Así, la dimensión de la masa es [M], la de la longitud es [L] y así sucesivamente. Las dimensiones de una magnitud física derivada son las potencias a las que hay que elevar las unidades de las magnitudes físicas fundamentales para representar completamente esa magnitud física derivada.

Esto es muy confuso y me resulta difícil entender la diferencia entre los dos términos: dimensión y unidad.

Pregunta: ¿Cuál es exactamente la diferencia entre el significado de los términos unidad y dimensión ?

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Los pies, las pulgadas y los metros son unidades diferentes. Pero todas ellas miden lo mismo y cada una puede convertirse en las otras, por lo que son la misma dimensión: la longitud.

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skyking Puntos 3392

La diferencia es bastante sutil y tiene poca importancia práctica si se hace como corresponde.

La diferencia es que una unidad incorpora una propiedad de escala mientras que la dimensión no. Por ejemplo, en el caso de la longitud puede medirse en metros, decímetros o kilómetros, pero sin embargo la dimensión es la longitud.

Si se utiliza el análisis unitario en lugar del dimensional, habría que tener en cuenta que las diferentes unidades de longitud sólo se diferencian por una constante (adimensional).

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Redundancia: "una constante constante".

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Re "...de poca importancia práctica si se hace como corresponde". No estoy seguro de lo que significa "si se hace como corresponde". Tampoco estoy de acuerdo en que la distinción pueda ser bastante útil, por ejemplo, al hablar de radianes y grados como unidades adimensionales. También he encontrado la distinción importante cuando se implementan unidades o dimensiones en un lenguaje de programación.

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@Ruslan ¡Gracias por señalarlo, corregido!

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user121049 Puntos 646

Se diría que la velocidad tiene dimensiones de distancia / tiempo. Comprobar que una fórmula tiene las dimensiones correctas es siempre una buena comprobación de un cálculo. Las unidades son la elección que se ha hecho para cuantificar una dimensión, por ejemplo, la distancia en cúbitos o en mega parsecs.

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M. Winter Puntos 1070

Creo que no hay diferencia entre dimensión y unidad en su caso. Pueden utilizarse indistintamente. Sin embargo, la misma palabra "dimensión" se utiliza también en otro contexto, a saber, para describir la cantidad de números necesarios para describir un punto del espacio de forma única. Estos dos casos de uso no deben confundirse. Son muy diferentes.

Por ejemplo, el espacio en el que vivimos es tridimensional. Esto significa que describimos un punto en su interior dando tres valores de la dimensión (= unidad) [M].

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Simone Puntos 11

Es una diferencia sutil, en efecto. No puedo encontrar una buena definición de la misma, aparte de lo que dijo @skyking ("una unidad incorpora una propiedad de escala mientras que la dimensión no"), pero aquí hay algo que podría ayudarte a entender mejor. ¿Qué te parece bien?

  • A) Mi altura es una longitud;
  • B) Mi altura es de metros.

¿Cuál?

  • A) La velocidad es la distancia sobre el tiempo;
  • B) La velocidad es en pulgadas sobre los segundos.

A habla de las dimensiones, B habla de unidades. Es correcto decir que la velocidad es expresado en (o medido en ) pulgadas por segundos, pero no que es pulgadas sobre segundos o pulgadas por segundos.

(Además, las pulgadas no son SI :) )

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dain Puntos 8

Una cosa que aún no he visto mencionar es que las unidades pueden referirse a más específico ideas o cantidades que las dimensiones. Ejemplo:

El Becquerel es una unidad de radiactividad que se refiere a una media de 1 desintegración por segundo. Tiene unas dimensiones de $\mathrm{time}^{-1}$ y se mide en $\mathrm{seconds}^{-1}$ .

El Hertz es una unidad de frecuencia, que se refiere exactamente a un ciclo por segundo. También tiene dimensiones de $\mathrm{time}^{-1}$ y se mide en $\mathrm{seconds}^{-1}$ .

¿Significa esto que 1 Becquerel es lo mismo que 1 Hertz? No. El primero se utiliza para hablar de la frecuencia media de los acontecimientos aleatorios, mientras que el segundo es para los acontecimientos regulares.

(Esta es la respuesta de un físico, no sé qué diría un matemático sobre esta formulación).

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Perdón por resucitar este post, pero me gustaría debatir esto. Para ser quisquilloso, el Becquerel no es 1/segundo, sino que es decaimiento/segundo, y el Hertz es ciclos/segundo. Creo que esta distinción importa aún más en física, como Randall Munroe señaló de manera excelente y divertida aquí: what-if.xkcd.com/11

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