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¿Por qué integración operador no tiene ningún valor eigen?

Que $V$ sea el espacio vectorial de todas las funciones de $\mathbb R$ $\mathbb R$ que son continuos. Que $T$ ser el operador lineal en $V$ definido por $$(Tf)(x) = \int_0^x f(t) dt$ $ demostrar que $T$ no tiene ningún valor eigen.

Todos los que van a diferenciar en el medio, por que no, hay funciones que son continuas, pero en ninguna parte diferenciable. Ex: Función Weirstrauss. Por lo tanto, usted no puede diferenciar en cualquier lugar en.

15voto

Conifold Puntos 5163

En realidad, se puede diferenciar $Tf(x)$ debido a la integral de una función continua es diferenciable y su derivada es la función, que es la FTC.

Ahora si $Tf(x)=af(x)$$a\neq0$, entonces cualquier eigenfunction $f(x)$ es también diferenciable, y la diferenciación de ambos lados da $f(x)=af'(x)$. La solución general de esta ecuación es $f(x)=Ce^{x/a}$, pero desde $f(0)=\frac1a Tf(0)=0$ debemos tener $C=0$ y, por tanto,$f(x)=0$.

Queda por considerar el caso de $a=0$, pero, a continuación, $Tf(x)=0$ y la diferenciación da $f(x)=0$ directamente.

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lhf Puntos 83572

Los vectores propios sólo posibles tendría que ser de la forma $e^{\lambda x}$ pero desde $(Tf)(0)=0$, ninguno de esos trabajos.

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