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¿Cuál es la diferencia entre los números naturales y los enteros positivos?

Estaba leyendo conjuntos y llegué a algunas cartas reservadas para algunos conjuntos. Dos de ellas me confundieron mucho. Eran

$\mathbb N$ : Para el conjunto de los números naturales.

$\mathbb Z^+$ : Para el conjunto si todos los enteros positivos.

En mi opinión, ambos conjuntos contienen $\{1,2,3,\dots\}$ Entonces, ¿por qué se les considera diferentes?

He buscado un poco sobre este tema y he obtenido este pero no dice nada sobre la importancia de dos diferentes conjuntos.

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A menudo N se define como $\{0,1,2,3,..\}$ entonces los conjuntos son diferentes. Busca su definición en el libro/artículo que estés leyendo.

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@Karl Los números naturales no contienen 0.

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Kaj Hansen Puntos 15355

Debe tener en cuenta que algunos autores definen $\mathbb{N}$ para incluir el cero. Esto no tiene mucha importancia en sí mismo, ya que las propiedades del conjunto se conservan: hay una biyección entre $\mathbb{N}$ con cero y $\mathbb{N}$ sin cero, ambos están bien ordenados, y así sucesivamente: no hemos hecho más que "reetiquetar" los elementos.

Sólo cuando empezamos a añadir estructura a estos elementos, la distinción se vuelve importante. Por ejemplo, si definimos una adición $+: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ , podríamos hacer $0$ una identidad aditiva. Por lo tanto, cuando se escribe " $\mathbb{N}$ " en un escenario de este tipo (la mayoría de los escenarios), entonces debe quedar claro qué definición se pretende.

Ahora bien, si tomamos ambos como el conjunto $\{1, 2, 3, \cdots\}$ Entonces, si uno escribe $\mathbb{N}$ o $\mathbb{Z}^+$ es irrelevante. Sin embargo, el uso de $\mathbb{Z}^+$ elimina la ambigüedad ya que $\mathbb{Z}^+$ definitivamente no incluye el cero, y no tendríamos que salirnos del camino para definir $\mathbb{N}$ .

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Esa es la respuesta que estaba esperando @Kaj Hansen

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¿Y si se le interroga? ¿Escribir los elementos del conjunto N? ¿Incluirás el cero? ¿A qué se debe esta ambigüedad?

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@Hritik la ambigüedad se debe a la historia, algunos lugares tenían $0$ incluidos y otros no. Si me pidieran que escribiera los números naturales, les preguntaría por la definición que debería utilizar.

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Kristoffer Ryhl Puntos 4192

Los enteros positivos son $\mathbb Z^+=\{1,2,3,\dots\}$ Y siempre es así.

Los números naturales tienen diferentes definiciones dependiendo del libro, a veces los números naturales son sólo los enteros postivitos $\mathbb N=\mathbb Z^+$ pero otras veces los números naturales son en realidad los números no negativos $\mathbb N=\{0,1,2,\dots\}$ .

Algunas personas también escriben $\mathbb N_0=\{0,1,2,\dots\},\mathbb Z^+=\{1,2,3,\dots\}$ y evitar completamente $\mathbb N$ debido a esta ambigüedad.

Si quieres ser completamente inequívoco, debes utilizar las palabras enteros positivos y enteros no negativos para estos conjuntos.

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¿Qué? ¿Los números naturales contienen 0? No estoy hablando de algunos libros, las leyes de las matemáticas deben ser universales.

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@Hritik algunas personas utilizan diferentes definiciones para $\mathbb N$ Lo que se llama a las cosas no cambia las leyes de las matemáticas. Las matemáticas son invariables bajo la notación.

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@Hritik, ...¡pero las definiciones contienen un cierto grado de arbitrariedad!

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John Eikenberry Puntos 11

En cuanto a la cuestión de si los números naturales deben incluir el cero o no, hay dos argumentos a favor de hacerlo que me parecen convincentes:

1) Al incluir el cero, los números naturales pueden utilizarse para indicar las cardinalidades de todos los conjuntos finitos. Si no se incluye el cero, falta la cardinalidad del conjunto vacío.

2) Como señaló John Conway, ya tenemos una forma perfectamente buena de describir el conjunto $\{1, 2, 3, \ldots \}$ , es decir, los enteros positivos. (JC estaba argumentando por qué no excluir el cero de los números naturales).

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También tenemos una forma perfecta de describir el conjunto $\{0, 1, 2, 3, \ldots\}$ , es decir, los enteros no negativos. Por lo tanto, no acepto el argumento 2.

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Los monoides suelen ser más útiles que los semigrupos sin identidades aditivas. Los números contables (números naturales sin "cero") son un semigrupo que puede utilizarse para definir 1x=x y (N+1)x = Nx+x para cualquier elemento del semigrupo x. Los números naturales que incluyen el cero pueden utilizarse para ampliar esa definición de modo que al aplicar 0x a cualquier elemento del monoide x se obtenga su identidad aditiva. Ser capaz de aplicar Nx a semigrupos (lo que no funcionará si N puede ser cero) puede ser útil, pero también lo puede ser la capacidad de usar 0x para obtener la identidad aditiva para el monoide de x.

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Sarah Puntos 1

Creo que ambos son iguales. Porque el cero no está incluido en un conjunto de números naturales.

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Eso depende de su definición de números naturales.

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