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¿Qué significa tener un determinante igual a cero?

Después de mirar en mi libro durante un par de horas, todavía estoy confundido acerca de lo que significa para un $(n\times n)$-matriz $A$ a tiene determinante igual a cero, $\det(A)=0$.

Espero que alguien pueda explicar esto a mí en la llanura inglés. Muchas gracias.

101voto

jmans Puntos 3018

Para un $n\times n$ matriz, cada uno de los siguientes es equivalente a la condición de la matriz de haber determinante $0$:

  • Las columnas de la matriz son dependientes de vectores en $\mathbb R^n$

  • Las filas de la matriz son dependientes de vectores en la $\mathbb R^n$

  • La matriz no es invertible.

  • El volumen del paralelepípedo determinado por los vectores columna de la matriz es $0$.

  • El volumen del paralelepípedo determinado por los vectores fila de la matriz es $0$.

  • El sistema homogéneo de ecuaciones lineales representado por la matriz no trivial de la solución.

  • El determinante de la transformación lineal determinado por la matriz es $0$.

  • La libre coeficiente del polinomio característico de la matriz es $0$.

Dependiendo de la definición del determinante se vio, demostrando cada uno de equivalencia puede ser más o menos duro.

17voto

Drew Jolesch Puntos 11

Cuando el determinante de una matriz cuadrada $A$ es cero, $A$ es no invertible. Esta es una prueba crucial que ayuda a determinar si una matriz cuadrada es invertible, es decir, si la matriz tiene inversa. Cuando se tiene una inversa, nos permite encontrar una solución única, por ejemplo, para la ecuación de $Ax = b$ dado algunos vectores $b$.

Cuando el determinante de una matriz es cero, el sistema de ecuaciones asociado con es linealmente dependiente; es decir, si el determinante de una matriz es igual a cero, al menos una fila de una matriz por un escalar múltiplo de otro.

[Cuando el determinante de una matriz es distinto de cero, el sistema lineal que representa es linealmente independiente]

Cuando el determinante de una matriz es cero, las filas son linealmente dependientes vectores, y sus columnas son linealmente dependientes vectores.

8voto

Matt Puntos 2318

El determinante de una matriz es la orientada al volumen de la imagen de la unidad de cubo. Si es cero, la unidad de cubo obtiene asignada dentro de un avión y tiene un volumen de cero.

3voto

dineshdileep Puntos 3858

Hay una interpretación geométrica para el factor determinante. Además de la interpretación en la otra respuesta, sin embargo, otro atractivo relacionado con el factor determinante es su interpretación como el volumen de una $N$ dimensiones parallelopipped. Esto es, se expresa en 3-Dimensiones. Si usted toma $3$ vectores en 3-D, que puede o no formar las esquinas de un parallelopipped, si usted toma el determinante de una matriz con esta 3 vectores como columnas (o filas), si el determinante es cero, es decir, que no forman un parallelopipped juntos, si es distinto de cero, es decir, que en realidad se forman las 3 aristas de un parallelopipped con el volumen dado por el determinante. El signo del valor de la determinante da un tipo de información sobre la orientación de este cuerpo.

1voto

jlupolt Puntos 369

Puesto de otra manera:

Si usted toma $2$ vectores en $2D$ espacio, usted puede demostrar que el área del paralelogramo formado es simplemente el determinante de la matriz formada por los dos vectores. Este es un resultado general para $n$-dimensiones - el determinante de una matriz es el volumen de la $n$-paralelogramo formado por las filas de la matriz.

Si el determinante es cero, esto significa que el volumen es cero. Esto sólo puede suceder cuando uno de los vectores "solapamientos" uno de los otros, o más formalmente, cuando dos de los vectores o linealmente dependiente.

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