Después de buscar en mi libro durante un par de horas, todavía estoy confundido acerca de lo que significa que una matriz de $(n\times n)$ $A$ tenga un determinante igual a cero, $\det(A)=0$.
Espero que alguien me pueda explicar esto en un lenguaje sencillo.
Para una matriz $n\times n$, cada uno de los siguientes es equivalente a la condición de la matriz tener determinante $0$:
Las columnas de la matriz son vectores dependientes en $\mathbb R^n$
Las filas de la matriz son vectores dependientes en $\mathbb R^n$
La matriz no es invertible.
El volumen del paralelepípedo determinado por los vectores columna de la matriz es $0$.
El volumen del paralelepípedo determinado por los vectores fila de la matriz es $0$.
El sistema de ecuaciones lineales homogéneas representado por la matriz tiene una solución no trivial.
El determinante de la transformación lineal determinada por la matriz es $0$.
El coeficiente libre en el polinomio característico de la matriz es $0$.
Dependiendo de la definición del determinante que hayas visto, demostrar cada equivalencia puede ser más o menos difícil.
El sistema de ecuaciones lineales homogéneas representado por la matriz tiene una solución no trivial. ¿Esto significa que tiene un número infinito de soluciones?
@MateenUlhaq Sí: si el kernel no está vacío, como es un espacio vectorial, hay un infinito de soluciones ($Ax=0 \Rightarrow A(2x)=0$).
@MateenUlhaq Bueno, eso es cierto si tus matrices están definidas sobre un campo infinito (como los números racionales, reales o complejos), ¡pero falso si están definidas sobre un campo finito!
Si el determinante de una matriz cuadrada $n\times n$ $A$ es cero, entonces $A$ no es invertible. Esta es una prueba crucial que ayuda a determinar si una matriz cuadrada es invertible, es decir, si la matriz tiene un inverso. Cuando tiene un inverso, nos permite encontrar una solución única, por ejemplo, a la ecuación $Ax = b$ dada algún vector $b$.
Cuando el determinante de una matriz es cero, el sistema de ecuaciones asociado con ella es linealmente dependiente; es decir, si el determinante de una matriz es cero, al menos una fila de dicha matriz es un múltiplo escalar de otra.
[Cuando el determinante de una matriz es distinto de cero, el sistema lineal que representa es linealmente independiente.]
Cuando el determinante de una matriz es cero, sus filas son vectores linealmente dependientes, y sus columnas son vectores linealmente dependientes.
No es necesario que una fila sea múltiplo de otra, solo que sean linealmente independientes.
Hay una interpretación geométrica para el determinante. Además de la interpretación en otra respuesta, otra interpretación atractiva relacionada con el determinante es su interpretación como el volumen de un paralelepípedo de $N$ dimensiones. Esto se expresa más en 3 dimensiones. Si tomas $3$ vectores en 3D, pueden o no formar las esquinas de un paralelepípedo, si tomas el determinante de una matriz con estos 3 vectores como columnas (o filas), si el determinante es cero, significa que no forman un paralelepípedo juntos, si es diferente de cero, significa que de hecho forman los 3 bordes de un paralelepípedo con el volumen dado por el determinante. El signo del valor del determinante proporciona cierta información sobre la orientación de este cuerpo.
Otra forma de expresarlo:
Si tomas $2$ vectores en el espacio $2D$, puedes mostrar que el área del paralelogramo formado es simplemente el determinante de la matriz formada por esos dos vectores. Este es un resultado general para $n$ dimensiones - el determinante de una matriz es el volumen del $n$-paralelogramo formado por las filas de la matriz.
Si el determinante es cero, esto significa que el volumen es cero. Esto solo puede suceder cuando uno de los vectores "se superpone" a otro u otros formalmente, cuando dos de los vectores son linealmente dependientes.
No necesariamente dos de los vectores necesitan ser linealmente dependientes. Más bien, si el determinante es $0$, entonces el volumen del paralelepípedo es $0$, lo que significa que al menos un vector se encuentra en el hiperplano generado por los otros, por lo tanto el conjunto de vectores es dependiente. Todavía es posible que cada par de vectores sean independientes (en $\mathbb{R}^3$ y superior).
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Si estás hablando del determinante de una matriz cuadrada $A$, una caracterización muy útil es que $\det A=0$ si y solo si $A$ no es invertible.
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Su respuesta ya está resuelta, pero me gustaría agregar un truco. Si el rango de una matriz nxn es menor que n, el determinante será cero.
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Hay que suponer que querían conocer la importancia en lugar de la definición, ya que la definición de $det(A)=0$ se sigue trivialmente de la de $det(A)$. Dado el nivel de la pregunta, siento que la consecuencia equivalente más esclarecedora es que hay dos vectores diferentes que se vuelven iguales al ser multiplicados por $A$, es decir, una formulación elemental de lo que significa que $A$ no sea invertible.
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Las columnas y filas de la matriz son linealmente dependientes.
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Hay infinitas soluciones para la matriz...
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Si el determinante de una matriz de correlación es cero o cercano a cero, entonces las variables están perfectamente correlacionadas (altamente correlacionadas)... si estás usando floats - es mejor verificar scipy.allclose(det, 0), debido a la posibilidad de no obtener un cero exacto
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Sin embargo, aún detA=0 implica que existe una solución no nula para las ecuaciones lineales homogéneas determinadas por A