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¿Qué significa tener un determinante igual a cero?

Después de mirar en mi libro durante un par de horas, todavía estoy confundido sobre lo que significa para un $(n\times n)$ -matriz $A$ para tener un determinante igual a cero, $\det(A)=0$ .

Espero que alguien pueda explicármelo en un lenguaje sencillo. Muchas gracias.

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Si se trata del determinante de una matriz cuadrada $A$ una caracterización muy útil es $\det A=0$ si y sólo si $A$ no es invertible.

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Tu respuesta ya está resuelta, pero me gustaría añadir un truco. Si el rango de una matriz nxn es menor que n, el determinante será cero.

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Hay que suponer que querían saber el significado más que la definición, ya que la definición de $det(A)=0$ se deduce trivialmente de la de $det(A)$ Dado el nivel de la pregunta, creo que la consecuencia equivalente más esclarecedora es que hay dos vectores diferentes que se convierten en el mismo cuando se multiplican por $A$ es decir, una formulación elemental de lo que significa para $A$ no ser invertible.

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jmans Puntos 3018

Para un $n\times n$ matriz, cada uno de los siguientes elementos equivale a la condición de la matriz que tiene determinante $0$ :

  • Las columnas de la matriz son vectores dependientes en $\mathbb R^n$

  • Las filas de la matriz son vectores dependientes en $\mathbb R^n$

  • La matriz no es invertible.

  • El volumen del paralelepípedo determinado por los vectores de la columna de la matriz es $0$ .

  • El volumen del paralelepípedo determinado por los vectores en fila de la matriz es $0$ .

  • El sistema de ecuaciones lineales homogéneas representado por la matriz tiene una solución no trivial.

  • El determinante de la transformación lineal determinada por la matriz es $0$ .

  • El coeficiente libre en el polinomio característico de la matriz es $0$ .

Dependiendo de la definición del determinante que vio, probar cada equivalencia puede ser más o menos difícil.

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"El sistema de ecuaciones lineales homogéneas representado por la matriz tiene una solución no trivial". ¿Significa esto que tiene un número infinito de soluciones?

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@MateenUlhaq Sí: si el núcleo no es vacío, al ser un espacio vectorial, hay infinidad de soluciones ( $Ax=0 \Rightarrow A(2x)=0$ ).

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@MateenUlhaq Bueno, eso es cierto si tus matrices están definidas sobre un campo infinito (como los números racionales, reales o complejos), pero es falso si están definidas sobre un campo finito.

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Drew Jolesch Puntos 11

Cuando el determinante de una matriz cuadrada $A$ es cero, $A$ es no invertible . Esta es una prueba crucial que ayuda a determinar si una matriz cuadrada es invertible, es decir, si la matriz tiene un inverso. Cuando tiene un inverso, nos permite encontrar una solución única, por ejemplo, a la ecuación $Ax = b$ dado algún vector $b$ .

Cuando el determinante de una matriz es cero, el sistema de ecuaciones asociado a ella es linealmente dependiente; es decir, si el determinante de una matriz es cero al menos una fila de esa matriz es un múltiplo escalar de otra.

[Cuando el determinante de una matriz es distinto de cero, el sistema lineal que representa es linealmente independiente]

Cuando el determinante de una matriz es cero, sus filas son vectores linealmente dependientes y sus columnas son vectores linealmente dependientes.

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¿y qué pasa con un sistema liniar? ¿significa que tiene solución?

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No es necesario que una fila sea múltiplo de otra, sólo que sean linealmente independientes.

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@user2171775 sí... si el determinante NO es cero. $Ax = b$ representa un sistema lineal.

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Matt Puntos 2318

El determinante de una matriz es el volumen orientado de la imagen del cubo de la unidad. Si es cero, el cubo unitario se mapea dentro de un plano y tiene un volumen cero.

3voto

dineshdileep Puntos 3858

Hay una interpretación geométrica para el determinante. Además de la interpretación en la otra respuesta, otra atractiva relacionada con el determinante es su interpretación como el volumen de un $N$ paralelopípedo dimensional. Esto se expresa más en 3-Dimensiones. Si tomas $3$ vectores en 3-D, pueden o no formar las esquinas de un paralelopípedo, si se toma el determinante de una matriz con estos 3 vectores como las columnas (o filas), si el determinante es cero, significa, que no forman un paralelopípedo juntos, si es distinto de cero, significa, que efectivamente forman las 3 esquinas de un paralelopípedo con el volumen dado por el determinante. El signo del valor del determinante da una especie de información sobre la orientación de este cuerpo.

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jlupolt Puntos 369

Otra forma de decirlo:

Si tomas $2$ vectores en $2D$ espacio, se puede mostrar que el área del paralelogramo formado es simplemente el determinante de la matriz formada por esos dos vectores. Este es un resultado general para $n$ -dimensiones- el determinante de una matriz es el volumen de la $n$ -paralelogramo formado por las filas de la matriz.

Si el determinante es cero, significa que el volumen es cero. Esto sólo puede ocurrir cuando uno de los vectores "se superpone" a uno de los otros o, más formalmente, cuando dos de los vectores o dependen linealmente.

6 votos

No es necesario que dos de los vectores sean linealmente dependientes. Más bien, si el determinante es $0$ entonces el volumen del paralelepípedo es $0$ lo que significa que al menos un vector se encuentra en el hiperplano abarcado por los otros, por lo que el conjunto de vectores es dependiente. Todavía es posible que cada dos vectores sean independientes (en $R^3$ y superior).

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