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¿Existe entre primer $100000001$ Fibonacci números uno que termina con $0000$?

Parece un problema difícil:

¿Existe entre primer $100000001$ Fibonacci números uno que termina con $0000$?

(es a partir de un entrenamiento de competición; entrenador sugiere usando principio del casillero)

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Fengyang Wang Puntos 1135

Considere la posibilidad de los números de Fibonacci $\mod 10000$. La secuencia comienza: $F_0=0, 1, 1, \ldots$, y continúa hasta el $F_{100000001}$. Considerar el conjunto de $100000001$ pares ordenados $(F_n, F_{n+1})$. Por el principio del palomar, al menos uno de estos pares ordenados se produce dos veces en la secuencia.

Ahora se nota que toda la secuencia de números de Fibonacci $\mod 10000$ se determina únicamente por cualquiera de los dos valores consecutivos, como la secuencia puede ser construido a la vez hacia delante y hacia atrás. ($F_n\equiv F_{n+2}-F_{n+1} \mod 10000$).

Así que si el par ordenado $(F_n, F_{n+1})$ se produce en tanto $n=m$$n=m+t$$m,t \in \mathbb{N}$, entonces la secuencia es recurrente ($F_n \equiv F_{n+t} \mod 10000$ todos los $n$).

Por lo tanto el par ordenado $(F_n=0, F_{n+1}=1)$ debe producirse también en tanto $n=0$$n=t$. Y desde $m+t$ está entre los primeros 100000001 números de Fibonacci, a continuación, $t$ también debe ser uno de ellos.

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user177886 Puntos 41

Esto es un poco irrelevante para lo que usted está buscando, pero estoy seguro de que usted será feliz de saber que para $n = 7500$,

f(n) = 11423965231520587047220488928656904198487186633317560797959030595738263643588305263964321080516991429937628886229555340146644442744473185460778302934743807002248109695741208782411159189994651520930091202035101269350523609417276542209682261168150544790025062794209091503702088574338650460569295592498666443239807989522593072562158640947468656887645879356201301594841872491497556389555817277508349058330498007583814270123329724353233156029127910968370052734811192660492733375394472692191584489489590970254440914222778382439339334175624660291588778456250479185237898309112318829984358216337347549014336517486496643224502773380042071174360597192343056318489287038447004730922073980870072990706067508624038407888471294048912294153491398930715643640170172837379127969101176561450586945715460276780809807889664272818316865711724985646554559305334340318994612185260719042008960311269000122672589731283419608098303367260382379660402261886574952211783683104453334281684425994447306306414660032519055079504313562694958935754118796157632978970220780288168992181699708922971417067735144929461193639081445200786881549331150381216073705417531166786634690469206418611524663013854198045284806720735273715046888704916821855277543026346215355286395854263168251068150374988851620501196943905031285049077628443804052134507022504682483293396215268186620124762379744668092166035314553541731537245946256422861852573006230492322259630342294350827184840607509969289328320360093204783447860955806396350723341261564285649453007949089154165288839814442677339344794691881510389855765582716774490000,

así que hay al menos uno!

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