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¿Qué hace una prueba en una lógica interna en realidad?

El nLab tiene un montón de cosas buenas que decir acerca de cómo se puede utilizar la lógica interna de los diversos tipos de categorías a ser interesante el uso de declaraciones más o menos ordinario de razonamiento matemático. Sin embargo, no puedo encontrar un solo ejemplo en el nLab de lo que una prueba de la realidad se ve como. (El nLab tiene una frustrante falta de ejemplos en general).

¿Alguien puede darme algunos ejemplos? Me gustaría estar particularmente interesado en los siguientes tipos de ejemplos:

  • He escuchado en un topos uno puede internalizar los números reales y, en el topos $\text{Sh}(X)$ de las poleas en un espacio topológico, este reproduce la gavilla de continua real de las funciones con valores de $X \to \mathbb{R}$. Por otra parte, uno puede internalizar "finitely generado proyectiva $\mathbb{R}$-módulo" y en $\text{Sh}(X)$ reproduce real del vector de paquetes en $X$. Lo que se puede demostrar acerca de vector haces de esta manera?

  • También me gustaría ver ejemplos de lo que usted puede hacer en la lógica interna de la Cartesiano categorías cerradas.

Este MO pregunta es relativa, pero que en realidad no satisfacer mi curiosidad.

12voto

Mike Ohlsen Puntos 1374

Aquí es arbitraria ejemplo de la geometría algebraica. Vamos a probar el siguiente la conocida declaración acerca de la $\mathcal{O}_X$-módulos sobre la reducción de los esquemas $X$ por la reducción de la construcción de álgebra lineal interpretarse en el topos $\mathrm{Sh}(X)$ de las poleas en $X$:

Deje $\mathcal{F}$ $\mathcal{O}_X$- módulo localmente finitos tipo. A continuación, $\mathcal{F}$ es localmente libre de iff su rango es constante.

Podemos traducir esta declaración en el lenguaje interno de $\mathrm{Sh}(X)$ por el siguiente diccionario:

  • En el lenguaje interno, la gavilla de los anillos de $\mathcal{O}_X$ parece una ordinaria anillo.
  • En consecuencia, $\mathcal{F}$ parece una ordinaria módulo en ese anillo.
  • $\mathcal{F}$ es localmente finito de tipo iff es finitely generados a partir de el punto de vista interno.
  • $\mathcal{F}$ es localmente libre de iff es un módulo de la interna punto de vista.
  • Internamente, podemos definir el rango de $\mathcal{F}$ como el número mínimo de los elementos necesarios para generar $\mathcal{F}$. Pero de manera constructiva, los números naturales puede no tener los mínimos de arbitrario habitada conjuntos (ver de este instructivo blog por Andrej Bauer), por lo que este número mínimo en realidad no podría ser un (interna) número natural, pero ser un elemento de un adecuado de finalización. Externamente, el rango definido de esta manera induce a un superior semicontinuo de la función en $X$ (ver nLab y la Mulvey referencia a los mismos); es constante el fib internamente, el número mínimo de los generadores es un número natural.
  • Finalmente, el esquema de $X$ se reduce el fib $\mathcal{O}_X$ se ve como un ordinaria reducida anillo desde el punto de vista interno. Esto a su vez es equivalente a $\mathcal{O}_X$ ser un llamado residuo campo de la punto de vista interno (es decir, un no-trivial anillo con cada unidad cero).

Así que la declaración de la siguiente manera si nos puede dar una constructivo prueba de la siguiente álgebra lineal hecho:

Deje $A$ ser un residuo de campo y deje $M$ ser un finitely generadas $A$-módulo. A continuación, $A$ es gratis si el número mínimo de elementos necesarios para generar $M$ como un $A$-módulo es un número natural.

La dirección "$\Rightarrow$" es clara. Para la dirección "$\Leftarrow$", considere la posibilidad de una mínima generación de la familia $x_1,\ldots,x_n$ $M$ (que existe por la asunción). Esta familia es linealmente independiente (y por lo tanto una base): Sea $\sum_i \lambda_i x_i = 0$. If any $\lambda_i$ fueron invertible, la familia $x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_n$ sería demasiado generar $M$, contradiciendo el minimality. Para cada una de las $\lambda_i$ a no es invertible, y por lo tanto cero (por supuesto en $A$).

7voto

Aleksandr Levchuk Puntos 1110

Joyal y Tierney del 1984 monografía, Una extensión de la teoría de Galois de Grothendieck, es un ejemplo de una pieza importante de las matemáticas escritas utilizando informal razonamiento en lógica interna. El principal resultado es el siguiente:

Teorema. Cada abierto surjection de toposes es un eficaz descenso de morfismos. En particular, todos los topos de Grothendieck es equivalente a la categoría de equivariant poleas en un localic groupoid.

Si usted mira en el Capítulo I se encuentran en la que se lee como cualquier otro matemático de texto, guardar para la prevención de la lógica clásica y ciertos tipos de conjunto de la teoría de las operaciones. La principal dificultad con el uso de la lógica interna es la interpretación de las conclusiones – esto requiere de mucho cuidado! Por ejemplo, la propuesta de esquema de $$(\forall b : B . \exists a : A . f(a) = b) \to (\forall h : B^T . \exists g : A^T . h = g \circ f)$$ donde $B$ es fijo, pero $f : A \to B$ $T$ se puede variar, dice que "si $f$ es surjective, entonces para cualquier $h : T \to B$ existe $g : T \to B$ tal que $h = g \circ f$", o en definitiva, "$B$ es un proyectiva objeto"... pero en la canónica de la semántica, no es ni necesario ni suficiente que $B$ ser proyectiva de la instrucción para celebrar! Porque lo que en realidad la fórmula significa que es el siguiente,

Si $f : A \to B$ es un epimorphism, a continuación, $f^T : A^T \to B^T$ es también un epimorphism.

mientras que $B$ proyectiva es la siguiente declaración:

Si $f : A \to B$ es un epimorphism, a continuación, $\mathrm{Hom}(T, f) : \mathrm{Hom}(T, A) \to \mathrm{Hom}(T, B)$ es una división surjection de conjuntos.

Si el topos en cuestión tiene un proyectiva de la terminal de objeto, a continuación, la primera instrucción (interna projectivity) implica la segunda, y si el lugar está bien-señaló, luego de la segunda declaración implica que la primera.

Tanto para proyectivas de los objetos. ¿Qué acerca de finitely módulos generados? De nuevo hay sutilezas, pero la forma más sencilla de formular es tomar un enfoque mixto. Deje $R$ ser un anillo interior. A continuación, $M$ es un finitely generado por $R$-módulo de si existen elementos globales $m_1, \ldots, m_n$ (es decir, morfismos $1 \to M$) tales que $$\forall m : M . \exists r_1 : R . \cdots . \exists r_n : R . m = r_1 m_1 + \cdots + r_n m_n$$ sostiene en la lógica interna. Esto equivale a decir que el evidente homomorphism $R^{\oplus n} \to M$ es un epimorphism, que es lo que queremos. Es tentador para formular la declaración completa internamente, pero esto no funciona: en el mejor de uno va a obtener una caracterización interna de los módulos que son localmente finitely generado.


Tal vez debería dar un ejemplo positivo. Me temo que no puedo pensar en nada interesante, así que voy a optar por algo sencillo en su lugar. Es bien sabido que una de dos caras, la unidad de los elementos de un magma es único, si es que existe. Esto también es cierto para los internos de los magmas en cualquier lugar, y la prueba es exactamente la misma (siempre que se formula directamente). Más explícitamente:

Deje $M$ ser un magma. Supongamos $u$ está a la izquierda de la unidad de elemento en $M$ $v$ es un derecho de la unidad de elemento en $M$. A continuación, $u = u v = v$.

Formalmente, estamos deducir que $$\forall u : M. \forall v : M. (\forall m : M. u m = m) \land (\forall m : M. m v = m) \to (u = v)$$ lo que significa que, para todos los $u : S \to M$ $v : T \to M$ si $\mu \circ (u \times \mathrm{id}_M) = \pi_2$$\mu \circ (\mathrm{id}_M \times v) = \pi_1$, $u \circ \pi_1 = v \circ \pi_2$ como morfismos $S \times T \to M$.

Ahora, supongamos que tenemos una interna del magma $M$ para los que $$\exists u : M . \forall m : M. (u m = m) \land (m u = m)$$ sostiene en la lógica interna, es decir, existe una morfismos $u : T \to M$ la satisfacción de las correspondientes ecuaciones, de tal manera que la única morfismos $T \to 1$ es un epimorphism. (El último es el verdadero contenido de la cuantificador $\exists$.) Queremos mostrar que $M$ global de la unidad de elemento, es decir, un morfismos $e : 1 \to M$ la satisfacción de las obvias ecuaciones. Aplicando el resultado anterior en el caso de $u = v$, podemos deducir que $u$ factor a través de la coequaliser de $\pi_1, \pi_2 : T \times T \to T$. Pero este coequaliser calcula el coimage de la única morfismos $T \to 1$, y asumimos $T \to 1$ es un epimorphism, por lo $T \to 1$ es en sí mismo el coequaliser de $\pi_1$$\pi_2$. Por lo tanto $u$ factores a través de $1$ (de una manera única), dando lugar a la necesaria $e : 1 \to M$.

Por supuesto, el párrafo anterior se lleva a cabo en el exterior de la lógica, pero esto es inevitable: no hay manera de formular la existencia de un mundial elemento en la lógica interna. Supongo que el punto es que, una vez que se han acumulado un stock de estos metatheorems que interpretar las declaraciones en la lógica interna, a continuación, puede probar diferentes resultados utilizando lógica interna, si así lo desea.

7voto

Boris Y Puntos 101

Hay una serie de ejemplos en los "apuntes de un elefante" por Johnstone, pero dos que se destacan son D1.3.13 y D1.3.14, tratar con categorías regulares y su lógica interna. La primera muestra que cada portada es una coequalizer, y el segundo muestra que el cuadrado formado por $A_1,A_2,A_1 \cap A_2$$A_1 \cup A_2$, junto con sus inclusiones, es un pushout. La gran cosa acerca de estos dos ejemplos es que ellos también son probadas anteriormente utilizando métodos categóricos, en A1.3.4 y A1.4.3. De esta manera se puede ver que las pruebas con el lenguaje interno es mucho más familiar que la manera categórica.

Para que el vector de paquetes, en el documento "Una generalización de Cisne del teorema" por Mulvey utiliza el lenguaje interno, si recuerdo correctamente.

Busque también en "Genérico de la teoría de Galois de los locales de los anillos" por los Wraith, para ejemplos relacionados con la etale topos.

4voto

Jeff Puntos 804

Se pueden encontrar ejemplos en la obra de Christopher Mulvey, por ejemplo

Intuitionistic álgebra y las representaciones de los anillos. En los Recientes avances en la teoría de la representación de los anillos y C*-álgebras. Mem. Amer. De matemáticas. Soc., 148, 3-57 (1974).

desarrolla (esencialmente) topos de la teoría y su lógica interna a partir de cero y se analiza el ejemplo de vector de paquetes.

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