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¿Puede la suma de los primeros n cuadrados de primos ser un cuadrado perfecto?

Hasta ahora, todos los que he encontrado es para $n=1$, por lo que la plaza es de 4. (No trivial)

Para dar un poco de contexto, recientemente he visto la Numberphile video El Cuadrado De Plazas.

Básicamente, un cuadrado es un cuadrado que está totalmente hecho de otras integral cuadrados (preferiblemente todos de diferentes tamaños). Quería ver si existe un cuadrado cuadrado hecho de $n$ plazas que está enteramente compuesto de plazas con las longitudes de todos los números primos hasta el $n$th prime.

Por encontrar un ejemplo que satisface a la pregunta, es que se muestra que existe al menos la posibilidad de una de estas plazas existentes. Si se puede probar que no existen ejemplos de otros que $n=1$, entonces se sigue que ningún cuadrado cuadrado con las condiciones existentes.

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Matthew Scouten Puntos 2518

No hay otros a $n= 10^6$. Tengo la fuerte sospecha de que no hay ninguno. La suma de los primeros a $n$ de los cuadrados de los números primos es del orden de $n^3 \log^2(n)$, y de forma heurística la probabilidad de que una plaza está en el orden de $n^{-3/2} \log(n)^{-1}$. La serie $\sum_n n^{-3/2}/\log(n)$ converge, por lo que debemos esperar encontrar sólo un número finito de plazas. Esto no es una prueba, sino que, junto con la evidencia empírica es muy sugerente.

EDIT: Aquí está una de Arce programa que utiliza todos los números primos $< 3 \times 10^7$ (hay $1857859$ de ellos). Todavía no se encuentra más.

P:=select(isprime, [2,seq(i,i=3..3*10^7,2)]):
S:= ListTools:-PartialSums(map(t -> t^2, P)):
select(t -> issqr(S[t]), [$1..nops(S)]);

$$ [1] $$


P.S. By the way, if you use the primes $p_n$ themselves rather than squares of primes, then solutions to,

$$\sum_{n=1}^k p_n = s^2$$

are OEIS sequences A033997 (for $k$) and A061888 (for $s$) the largest known so far is,

$$\sum_{n=1}^{126789311423} p_n = 468726713734^2$$

pero que es probable que sea infinito.

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