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¿Teoría detrás de la relación entre la masa de un cilindro y el tiempo necesario para al rodar por una pendiente - resistencia del aire?

He llevado a cabo un sencillo experimento en el que traté de encontrar la relación entre un cilindro de masa y su tiempo (o el promedio de velocidad o de aceleración, que puede ser fácilmente deriva del tiempo y la distancia).

Me di la vuelta un cilindro de una rampa fija (longitud y ángulo-sabio), variar la masa del cilindro llenando el recipiente con objetos diversos que incluso distribución de la masa y se mide el tiempo que tarda en llegar desde la parte superior a la parte inferior de la rampa.

He obtenido un resultado de 10 puntos de datos a partir de 10 repeticiones cada uno (los valores van desde la 0.073 kg y hora 2.119 a 2.278 kg & 1.835), que, cuando se trazan (tiempo en el eje y), me muestra una clara tendencia que se parece a una disminución exponencial natural o el lado positivo de un cuadrado inverso de la curva. Las siguientes dos funciones de ajuste de los valores de los datos con mayor precisión:

t =0.7298 * e^(-13.14*m) + 1.842 t = 0.001644 * m^(-2) + 1.850

time-mass graph

Aquí, yo no podía entender por qué la relación entre la masa y el tiempo (o la velocidad, aceleración), y el apoyo a la teoría y las correspondientes ecuaciones.

Ahora, la ley de conservación de la energía no explicar dicha relación, como la masa no afecta la velocidad del cilindro, es decir, GPE = ∆KE(traslación) + ∆KE(de rotación) mgh = 0.5 mv^2 + 0.25 mv^2 , donde m es cancelada.

Otro posible competidor es la fricción de rodadura del cilindro, pero a partir de mi conocimiento y de lo que he intentado, esto también puede explicar la relación entre la masa y el tiempo.

La explicación más plausible, creo, tiene que ver con la resistencia del aire; un objeto de mayor masa experiencias de mayor fuerza de la gravedad, por lo que toma más tiempo para que la resistencia del aire para equilibrar esta fuerza, y así se acelera por más tiempo hasta que alcanza su velocidad terminal (como por qué los elefantes caería mucho más rápido que una pluma cuando no hay resistencia del aire). Mis conocimientos actuales me dice que la resistencia del aire es proporcional a la del objeto de la velocidad. Sin embargo, mi investigación hasta el momento me ha dicho que no hay realmente una ecuación definitiva, que une las dos variables o explicar la relación entre las dos variables, ya que hay múltiples factores que contribuyen a la resistencia del aire, por ejemplo, el área de superficie. Algunas fuentes sugieren que es:

F = Kv^2 o F = Kv, la resistencia del aire F, la velocidad v, y un desconocido de la constante K.

Aunque me siento como la resistencia del aire es la razón detrás de este momento de masa de la relación, realmente no parecen encontrar un vínculo entre el presente y el gráfico.

Mi supervisor me ha aconsejado simplemente explicar, en mi investigación análisis de la escritura, la naturaleza de la relación y cómo cambia con el tiempo, posiblemente describir por separado las dos secciones de la gráfica que difieren claramente en sus gradientes debido a los rápidos cambios en un punto (debido a su exponencial o inversa del cuadrado de la naturaleza) - sin necesidad de utilizar una ecuación para obtener una explicación, si no puedo encontrar uno.

Sin embargo, me siento como la relación entre las dos variables que sigue un patrón (si es exponencial o inversa del cuadrado) demasiado precisa para ser inexplicable o accidental.

Disculpas si me he paseado por un tiempo demasiado largo. He aquí un resumen de mi problema:

  1. ¿Qué teoría explica la relación entre la masa de un cilindro y el tiempo necesario para rodar por una pendiente?
  2. Lo que la ecuación(s) se relacionan las dos variables y explicar la forma de la gráfica que he obtenido? (cualquiera de las dos funciones se indica más arriba)
  3. Es la resistencia del aire, la razón detrás de la relación, como lo he mencionado? Y si es así, ¿hay realmente una ecuación para explicar la forma de la gráfica? Y si no la hay, ¿cuál sería la más eficaz/manera correcta de interpretar y analizar dicha relación sin el uso de una ecuación?
  4. O es la relación que tengo realmente inexplicable a través de una única ecuación? O posiblemente accidental, o resultado de un error experimental que no me reconocen?

Por favor, hágamelo saber si usted tiene alguna pregunta acerca de este o desea cualquier información adicional que me pudo haber omitido - que es muy posible, ya que es mi primera vez haciendo una pregunta sobre la física de intercambio de la pila.

4voto

christo16 Puntos 2546

La explicación más probable para la variación en el tiempo de descenso es por el cambio de momento de inercia (MI) del cilindro. MI cambios debido a la distribución de la masa sobre el eje del cilindro de cambios.

La aceleración hacia abajo de la pendiente es [1]
$$a=\frac{g\sin\theta}{1+k}$$ donde el MI sobre el centro es $I=kMR^2$. La aceleración es constante por lo que la distancia y el tiempo a lo largo de la pendiente están relacionados por $s=\frac12 at^2$. Por lo tanto, para una longitud fija y el ángulo de inclinación de $t^2$ debe ser proporcional a $1+k$.

La masa del cilindro de vacío se distribuye principalmente en el borde. Para un cilindro hueco de la MI es$MR^2$$k=1$. Para un cilindro sólido de densidad uniforme que el MI es$\frac12 MR^2$$k=\frac12$. La relación de los tiempos de descenso debe ser $\sqrt{\frac{1+1}{1+\frac12}}=\sqrt{\frac{4}{3}}=1.1547$.

El uso de sus figuras, y suponiendo que el más ligero de los cilindros se aproxima a una cáscara cilíndrica, mientras que los más pesados se aproxima a un cilindro sólido de la misma radio, esta relación se $\frac{2.119}{1.835}=1.15468$. Esto es terriblemente cerca de la predicción, y (creo que) confirma que esta explicación es la más probable para ser la correcta. No hay necesidad de invocar cualquiera de la resistencia del aire o la resistencia a la rodadura como una explicación.


Para un análisis más minucioso de los datos, $k$ tiene que estar relacionado con la masa del cilindro.

Suponiendo que el cilindro de vacío no tiene extremos, su MI es [2] $\frac12 m (R^2+r^2)$ donde $R, r$ son exteriores y el interior de los radios. El MI de que el relleno es $\frac12 (M-m) r^2$ donde $M, m$ total de la masa y la masa del cilindro de vacío. Así que el total de MI de el llenado del cilindro es
$kMR^2=\frac12 m (R^2+r^2)+\frac12 (M-m) r^2$
$k=\frac12 \mu (1+\rho^2)+\frac12 (1-\mu) \rho^2=\frac12(\mu+\rho^2)$
donde$\mu=m/M$$\rho=r/R$.

Usted debe encontrar que el $t^2=\frac{L}{g\sin\theta}(2+\rho^2+\mu)$ donde $L$ es la distancia de recorrido a lo largo de la pendiente.

El uso de sus datos, he trazado el siguiente gráfico de $t^2$ vs $\mu=m/M$, junto con una línea de tendencia, pero se puede usar los valores en el experimento $(L, R, r, \theta)$ a de la parcela de la predicción de la variación. Tenga en cuenta que los puntos de datos están en orden inverso en comparación con su lista.
enter image description here
El punto de datos para una masa de 0.196 kg $(\mu \approx 0.37)$ es un candidato obvio para la investigación. Mi conjetura es que esto podría ser el de los granos. Como un líquido, estos tienden a mantener su posición mientras que el cilindro gira alrededor de ellos. Esto reduce el tiempo de descenso.


[1] http://www.phys.ufl.edu/courses/phy2053/spring12/lectures/PHY2053_03-15-12.pdf, diapositiva 6.
[2] http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/ihoop.html

3voto

Rohit Puntos 83

Me fui por delante y encontrar la ecuación de movimiento de un cilindro que rueda hacia abajo por una rampa, dejando de lado la fricción de rodadura$^1$ pero incluyendo cuadrática de arrastre. Cuadrática arrastre significa que la fuerza de arrastre es proporcional a $v^2$. La ecuación de movimiento es el siguiente, donde $x$ que representa el total de la distancia recorrida por la rampa:

$$ \ddot{x}=\frac{2}{3}g\sin{\theta}-\frac{\rho Un C_d}{m}\dot{x} $$

He encontrado el primer término por la Lagrangiana de la mecánica, la configuración de $$ T=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}I\omega ^2 $$ $$V=-mgx\sin{\theta} $$

Para un cilindro, $I=\frac{1}{2}mr^2$$\omega = \frac{v}{r}$.

La solución de la ecuación de Lagrange

$$ \frac{d}{dt} ( \frac{\partial L}{\parcial \dot{x}})= \frac{\partial L}{\partial x} $$

da

$$ \ddot{x}=\frac{2}{3}g\sin{\theta}. $$

A continuación, me acaba de incluir el cuadrática arrastre plazo $F_d=\frac{1}{2}\rho v^2 C_d A$, y dividido por la masa a través de $F=ma$.

Desde $v^2=\dot{x}^2$, podemos sustituir en las ecuaciones. El resto de las condiciones no dependen de la masa ($A$ está relacionado con la masa a través de $\rho_{cylinder}$, pero el $\rho$ en la ecuación es $\rho_{air}$)

La solución de esta ecuación diferencial, la configuración de $a=\frac{2}{3}g\sin{\theta}$$b=\rho A C_d$, obtenemos

$$ x=\frac{a}{b}mt+\frac{c_1 m}{b}e^{\frac {bt}{m}}+c_2. $$

A partir de esta ecuación, y el establecimiento $x(0)=\dot{x}(0)=0$ (desde $x$ es la distancia a rodar por la rampa), podemos obtener $$ c_1=\frac{a}{b}m $$ $$ c_2=-\frac{am^2}{b^2} $$

lo que nos da un final ecuación de

$$ x=\frac{a}{b}mt+\frac{m^2}{b^2}e^{\frac {bt}{m}}-\frac{am^2}{b^2}. $$

Esto es muy difícil, si no imposible empíricamente solucionar $t(m)^2$, en lugar de eso me acabo de graficados en desmo para valores arbitrarios de $x$, $a$ y $b$, sólo para ver la dependencia de la $t$$m$.

Esta es la dependencia de la que he encontrado, que parece coincidir con su dependencia muy bien!

enter image description here

Y aquí está el enlace para jugar con él a sí mismo: https://www.desmos.com/calculator/akux3vsubk

Espero que esta ayuda a los / las respuestas a su pregunta!


$^1$ Si la fricción de rodadura está incluido, sólo se absorbe en el $a$ plazo, ya que depende de la masa, y por lo que la masa se cancela cuando la búsqueda de la aceleración.

$^2$ A=b=x=1, podemos resolver para $t(m)$ y obtener (a través de Wolfram Alpha)

$$ t=\frac{m^2 W(-e^{-1-\frac{1}{m^2}})+m^2+1}{m} $$

donde $W(x)$ es el producto de registro de la función, o de la función W de Lambert, dando la inversa de a $f(z)=ze^z$

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