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Utilidad de secciones cónicas

Secciones cónicas son un blanco frecuente para caer al tratar de hacer espacio para otros temas en cursos de precálculo y álgebra avanzada. Un argumento común a favor de dejarlos es que típico cálculo de primer año no utiliza secciones cónicas en todos. ¿Secciones cónicas vienen en la típicas intro-nivel cursos? ¿En cursos a nivel graduado prelim típico? ¿Si es así, donde?

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Matt Dawdy Puntos 5479

Las secciones cónicas son ejemplos básicos en geometría algebraica, ya que son (las formas reales de) las curvas de género cero. Como tales, son también ejemplos básicos en la teoría de los números, ya que es fácil determinar los puntos racionales de una sección cónica, y este es un buen calentamiento para el estudio de los más complicados de Diophantine ecuaciones. De hecho, las curvas de género cero son la única clase de la variedad para la que un algoritmo puede probar que existe para determinar los puntos racionales! Incluso para el siguiente caso más difícil, curvas elípticas, no existen algoritmos que seguramente siempre funciona.

Un gran estudio de estos temas es Bjorn Poonen del Cómputo de puntos racionales en curvas.

Edit: también Hay Franz Lemmermeyer del Cónicos - un pobre hombre de curvas elípticas, que explica cómo ciertos cónicas pueden ser pensados como "degenerado" en curvas elípticas.

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Brian Vallee Puntos 61

Las secciones cónicas, definitivamente debe ser retenido. Si usted no cubre las secciones cónicas, entonces, ¿qué otros ejemplos pueden incluir?

Líneas? Demasiado simple. En General las curvas? Suficientemente concreto.

Los ejemplos son muy importantes para la ilustración de la teoría general y de las técnicas.

También, en un curso de cálculo multivariable, ejemplos típicos implicará quadric superficies. Aquí las secciones cónicas entrarán en juego, ya que hyperplane secciones (o "curvas de nivel") de quadric superficies de las secciones cónicas.

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Pete Puntos 2065

Si eres de física tipo de persona, secciones cónicas se ven claramente cuando usted estudia cómo Kepler descubrió lo de las formas de las órbitas, y algunos de sus sintético propiedades dan accesos directos útiles para cosas como probar "la igualdad de área barrida en el mismo tiempo" que no es necesario involucrar cálculo.

Las otras habilidades que normalmente se aprenden, mientras que el estudio de las secciones cónicas en la geometría analítica - polar parametrización de las curvas, los hechos básicos acerca de los diferentes invariantes relacionados con los triángulos y los cónicos, la rotación y el cambio de sistemas de coordenadas (así como para reconocer la ecuación de una cónica en forma general, como una especie de transformación de un estándar de hecho), son muy útiles en la física. Yo diría que el plano de la geometría analítica es la más útil de matemáticas herramienta para mí en la resolución de problemas de física hasta que llegué a la dinámica de fluidos cosas (en el que es sustituido por el análisis complejo.

Relatedly, independiente de su uso en la física, creo que son una gran manera de mostrar las conexiones entre analítico y sintético del pensamiento en matemáticas, que va a venir una y otra vez para la gente que va a estudiar matemáticas (coordinar versus intrínseca perspectivas, respectivamente).

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schmidty Puntos 703

El estudio de las parábolas (con eje paralelo al eje y) es útil cuando tienes que resolver inecuaciones de grado 2.

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Jombie Puntos 36

Aparte de lo que ha dicho Jamie Banks, secciones cónicas son también una gran manera de introducir la aplicación de matrices y determinantes para examinar a la familia de curvas. Da idea intuitiva acerca de lo que el valor propio y vector propio se suponen que significa. También esta manera de estudiar las curvas será útil cuando estudia el cálculo multivariable.

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