Recientemente me encontré con un número de secuencia se define como:
$$ a_{i} = \begin{cases} N & \text{if } i = 0 \\ S(a_{i-1}) & \text{if } i > 0 \end{casos} $$
Donde:
$$ S(N) = \begin{cases} \sum \text{Prime Factors of N} & \text{if N is composite} \\ N + P_{next} &\text{if N is prime} \end{casos} $$
Y $P_{next}$ se define como el próximo primer después de N. (es decir, Si N es 7, $P_{next}$ es de 11)
Se puede demostrar la secuencia de bucle en:
(N=5): {5, 12, 7, 18, 8, 6, 5, ...}
(N=4): {4, 4, ...}
(N=3): {3, 8, 6, 5, 12, 7, 18, 8, 6, 5, ...}
(N=2): {2, 5, 12, 7, 18, 8, 6, 5, ...}
En aras de la claridad, $\sum \text{Prime Factors of N}$, se refieren a la suma de TODOS los factores primos con respecto a sus multiplicidades. Por ejemplo: S(18) = 8 18 porque es compuesto, y sus factores primos son {2,3,3}. Desde 2 + 3 + 3 = 8, S(18) = 8.
Para$N\geq2$$N\leq10,000,000$, con la excepción de N = 4, todas las secuencias convergen en 5, como se muestra arriba es un bucle de secuencia.
Mi conjetura es que para todos los $N\geq2$, con el excepton de N = 4, la secuencia converge a 5.
Es posible demostrar esta conjetura? O, por el contrario, refutar a través de un contraejemplo?
Como se indicó anteriormente, he probado la conjetura de $2\leq N\leq 10,000,000$.
Gracias de antemano.