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Question

Cómo puedo solucionar

$$\int_{0}^{\infty} \sin \left (ax^2 \right) \cos \left (2bx \right)dx$$

¡Gracias!

Answer 1

Voy a suponer que $a \gt 0$. Una manera de atacar esta integral es ampliar la integración de la región a la totalidad de la línea real por la simetría y, a continuación, dividir el producto en una suma de senos. Por lo tanto, la integral es

$$\frac14 \int_{-\infty}^{\infty} dx \, \sin{\left ( a x^2+2 b x \right )} + \frac14 \int_{-\infty}^{\infty} dx \, \sin{\left ( a x^2-2 b x \right )}$$

el cual se puede expresar como

$$\frac14 \operatorname{Im}{\left [\int_{-\infty}^{\infty} dx \, e^{i (a x^2+2 b x)} \right ]}+\frac14 \operatorname{Im}{\left [\int_{-\infty}^{\infty} dx \, e^{i (a x^2-2 b x)} \right ]} $$

Completar las plazas y obtener

$$\frac14 \operatorname{Im}{\left [ e^{-i b^2/a} \int_{-\infty}^{\infty} dx \, e^{i a (x+b/a)^2} \right ]} + \frac14 \operatorname{Im}{\left [ e^{-i b^2/a} \int_{-\infty}^{\infty} dx \, e^{i a (x-b/a)^2} \right ]} $$

Tenga en cuenta que ambas integrales son iguales, simplemente nos turno de los respectivos orígenes. Así que ahora tenemos la integral es igual

$$\frac12 \operatorname{Im}{\left [ e^{-i b^2/a} \int_{-\infty}^{\infty} dx \, e^{i a x^2} \right ]}$$

La integral converge y puede ser demostrado ser igual a $\sqrt{\pi/(-i a)}$. Por lo tanto, nos encontramos con que

$$\int_0^{\infty} dx \, \sin{a x^2} \, \cos{2 b x} = \frac12 \sqrt{\frac{\pi}{2 a}} \left (\cos{\frac{b^2}{a}}-\sin{\frac{b^2}{a}} \right ) $$

Answer 2

Sobre la antiderivada, empezar a escribir$$\sin \left (ax^2 \right) \cos \left (2bx \right)=\frac12\left(\sin(ax^2+2bx)+\sin(ax^2-2bx)\right)$$ Now $$ax^2+2bx=\left(\sqrt a x +\frac{b}{\sqrt a}\right)^2-\frac{b^2}a$$ $$ax^2-2bx=\left(\sqrt a x -\frac{b}{\sqrt a}\right)^2-\frac{b^2}a$$ Now, consider $$I=\int \sin(ax^2+2bx)\,dx$$ and change variable accordingly for each sine. Expand the sine and you will arrive to a linear comination of sine and cosine Fresnel integrals. Back to $x$, you should get $$I=\frac{\sqrt{\frac{\pi }{2}} \left(\cos \left(\frac{b^2}{4}\right) S\left(\frac{b+2 una x}{\sqrt{a} \sqrt{2 \pi }}\right)-\sin \left(\frac{b^2}{4}\right) C\left(\frac{b+2 a x}{\sqrt{a} \sqrt{2 \pi }}\right)\right)}{\sqrt{a}}$$ Similarly $$J=\int \sin(ax^2-2bx)\,dx$$ $$J=-\frac{\sqrt{\frac{\pi }{2}} \left(\sin \left(\frac{b^2}{4}\right) C\left(\frac{2 x-b}{\sqrt{a} \sqrt{2 \pi }}\right)-\cos \left(\frac{b^2}{4}\right) S\left(\frac{2 x-b}{\sqrt{a} \sqrt{2 \pi }}\right)\right)}{\sqrt{a}}$$ creo que usted tiene todas las piezas para terminar el problema.