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La diferencia entre log y ln

$$ \dfrac {1}{2} \ln (x+7)-(2 \ln x+3 \ln y)$$

Nuestro profesor nos deja resolver esto, pero no entiendo cómo $ \ln $ funciona. Dice que tiene las mismas propiedades con $ \log $ pero todavía no lo entiendo. ¿Cuál es la diferencia entre los dos?

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ln denota el registro natural que tiene como base $e$ . En este contexto, el término "tronco" designa un tronco con base $10$ . Busca en Google "la constante matemática e" para más información.

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La fórmula es ambigua. ¿Quiere decir $$\frac{1}{2}\ln(x+7)\text{ or }\frac{1}{2\ln(x+7)}$$ en el primer sumando?

2 votos

@MaX: ¿Cómo sabes a qué se refería?

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Lorin Hochstein Puntos 11816

El logaritmo común es el logaritmo de base 10. Es la inversa de la función exponencial $10^x$ . En las clases de Cálculo y Precálculo, se suele denotar $\log$ .

El logaritmo natural es la base del logaritmo $e$ . Es la inversa de la función exponencial $e^x$ . En las clases de Cálculo y Precálculo, se suele denotar $\ln$ .

En general, si $a\gt 0$ , $a\neq 1$ entonces la inversa de la función $a^x$ es la "base del logaritmo $a$ ", $\log_a(x)$ .

La "fórmula guía" es $$\log_a(b) = r\text{ if and only if }a^r = b.$$ De aquí se desprenden las propiedades de las funciones logarítmicas:

  1. $\log_a(xy) = \log_a(x)+\log_a(y)$ El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos.

¿Por qué? Diga $\log_a(x) = r$ y $\log_a(y)=s$ . Esto significa que $a^r = x$ y $a^s=y$ . Entonces $xy = a^ra^s = a^{r+s}$ Así que $\log_a(xy) = r+s = \log_a(x) + \log_a(y)$ .

  1. $\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a(x) - \log_a(y)$ .

¿Por qué? De nuevo, diga $\log_a(x) = r$ y $\log_a(y) = s$ . Entonces $a^r = x$ , $a^s = y$ Así que $\frac{x}{y} = \frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}$ , lo que significa que $\log_a\frac{x}{y}=r-s = \log_a(x)-\log_a(y)$ .

  1. $\log_a(x^t) = t\log_a(x)$ .

¿Por qué? Si $\log_a(x)=r$ para que $a^r = x$ entonces $x^t = (a^r)^t = a^{rt}$ Así que $\log_a(x^t) = rt = t\log_a(x)$ .

  1. $\log_a(a^r) = r$ y $a^{\log_a(x)} = x$ . Porque $\log_a(x)$ y $a^x$ son inversos entre sí.

En particular, $\ln$ que es $\log_{e}$ y el uso de $\log$ para $\log_{10}$ Tenemos estas propiedades: $$\begin{align*} \log(xy) &= \log(x)+\log(y) &\qquad \ln(xy) &=\ln(x) + \ln(y)\\ \log\left(\frac{x}{y}\right) &= \log(x) - \log(y) &\ln\left(\frac{x}{y}\right) &= \ln(x) - \ln(y)\\ \log(x^a) &= a\log(x) & \ln(x^a) &= a\ln(x)\\ \log(10^x) &= x & \ln(e^x) &= x\\ 10^{\log(x)} &= x & e^{\ln(x)} &= x \end{align*}$$

También te da una forma de ir y venir entre cualquier logaritmo y cualquier otro logaritmo: si $a$ y $b$ son dos bases, ambas positivas, ambas diferentes de una, ¿cuál es la relación entre $\log_a(x)$ y $\log_b(x)$ ?

Si $\log_b(x)=r$ entonces $b^r = x$ . Así que $$\log_a(x)= \log_a(b^r) = r\log_a(b) = \log_b(x)\log_a(b).$$ Así que conseguimos que $$\log_b(x) = \frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}.$$

Como señala Henning más adelante, aunque $\ln$ no es ambiguo (siempre denota logaritmo de base $e$ ), $\log$ es ambiguo y su significado exacto depende del contexto. En los cursos de matemáticas más avanzados, es habitual utilizarlo para significar el logaritmo natural; en informática, se utiliza muy a menudo para denotar la base del logaritmo $2$ . Para algunas aplicaciones, no importa (por ejemplo, cuando se analiza la complejidad, ya que dos logaritmos diferentes son sólo múltiplos escalares el uno del otro).

25 votos

Tenga en cuenta que $\log$ no significa inequívocamente el logaritmo de base 10, sino "el logaritmo que solemos utilizar". En muchas áreas de las matemáticas superiores, $\log$ significa que el natural logaritmo y el $\ln$ La notación de la palabra "no" se ve raramente. Y los informáticos utilizan habitualmente $\log$ para significar $\log_2$ .

1 votos

Buen punto; supongo que he estado enseñando demasiados Calculii últimamente...

2 votos

Ni siquiera asumas que log = base2 para el software; TensorFlow, por ejemplo, tiene una función log() que "Calcula el logaritmo natural de x por elementos". El uso de "log" parece ser intencionalmente molesto en todos los campos.

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Michael Hardy Puntos 128804

El uso de la abreviatura "ln" para logaritmo natural es algo malo porque hace que la gente piense que "log" es una cosa y "ln" es otra, y se pregunte cuál es la diferencia entre ambas.

La base $10$ es una función logarítmica.

La base $2$ es una función logarítmica.

La base $e$ es una función logarítmica.

La diferencia es qué número es la base.

Matemáticos que escriben " $\log x$ " suele significar $\log_e x$ , también llamado $\ln x$ .

Uso de calculadoras $\log x$ para significar $\log_{10} x$ . También se utiliza en algunas ciencias cuando se hacen cosas numéricas.

La razón de la importancia de la base- $10$ Los logaritmos quedaron obsoletos gracias a las calculadoras. A principios de los años 70, las calculadoras se generalizaron. Antes de eso, muchos libros tenían tablas de logaritmos de base. $10$ logaritmos en un apéndice. Supongamos que queremos el logaritmo de $123$ La tabla le dio logaritmos de números entre $1$ y $10$ , por lo que encontró $\log_{10}1.23= 0.089905\ldots$ y concluyó que $\log_{10} 123 = 2.089905\ldots\;{}$ . Has añadido $2$ para mover el punto decimal más de 2 lugares. Por eso se utilizó la base 10: para que eso fuera posible. Si quieres la raíz cuadrada de $7$ , has encontrado el logaritmo de $7$ dividido por $2$ , y luego encontrar el antilogaritmo en la misma tabla. Si quisieras dividir $319450231$ por $2673019201$ , has encontrado los logaritmos de ambos en la tabla, has restado y luego has encontrado el antilogaritmo. Y así sucesivamente.

La pregunta teórica importante que hay que hacerse sobre " $\ln$ " es la razón por la que $e=2.71828182846\ldots$ es la base "natural" a utilizar. (¿Alguien ha planteado esa pregunta aquí?) (Cuando planteo esa pregunta y trato de responderla en una clase de cálculo, algunos alumnos preguntan "¿Tenemos que saber esto? ¿Estará en el examen?". La próxima vez que alguien haga eso, diré "¿A quién le importa?").

7 votos

Tuve un profesor que siempre respondía a "¿Estará en el examen?" con " Ahora definitivamente será"...

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"La pregunta teórica importante que hay que hacerse sobre "ln" es por qué e=2,71828182846 es la base "natural" a utilizar". Esa pregunta se discute aquí .

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Dado que la base por defecto de log puede variar entre e incluso dentro de los campos, parece que una buena regla general es tratar ln como loge (por supuesto), y log como desconocido (re: base-2/10/e/lo que sea) hasta confirmar el contexto. Si calculas o programas, comprueba el resultado de una prueba antes de hacer suposiciones. Y en este último caso, puede ser mejor ignorar la función de registro incorporada en un lenguaje y utilizar la tuya propia para que tu código sea más portable.

0voto

Valery Fradkov Puntos 11

Los logaritmos con diferentes bases cruzan la línea y = 0 en x=1 con diferentes pendientes (de la tangente a la curva). La base natural e hace que esta pendiente sea igual a 1.

El número se llama e en honor a Leonhard Euler, un matemático que fue el primero en dar un significado a este número y encontrar su valor. Euler trabajó en una fórmula para el interés compuesto. Si r es el tipo de interés anualizado y n es un número de intervalos de capitalización por año, la fórmula para el importe de la inversión de \$1 after n intervals is: $$ (1+ \frac r n )^n $$ Euler showed that the limit of this value for infinitely large n is $ e^r $ where e is $$\lim_ {n \to\infty } (1+ \frac 1 n)^n $$ when $ n \rightarrow \infty $. Es aproximadamente 2,718.

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Según la norma internacional ISO 31-11 "ln" es el logaritmo natural de base-e; "lg" es el logaritmo común de base-10; y "lb" es el binario de base-2. "log" es una notación genérica para un logaritmo de una base arbitraria que debe especificarse.

Los antiguos libros de texto de matemáticas/física soviéticos se ciñen a esta regla de forma más o menos coherente, mientras que la literatura de física en lengua inglesa suele utilizar "log" para denotar logaritmo natural. En defensa de esto último puedo decir que en la mayoría de los casos en física se considera que un logaritmo es una función casi constante. Para un físico teórico, "log(x)" sólo significa "algo que no depende demasiado de x". El valor numérico exacto de este algo rara vez se pide, por lo que la base no es interesante, de ahí que "log" sea tan bueno como "ln" o "lg" (no olvidemos que son los mismos para los que 2= $\pi$ =1).

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avs Puntos 803

El símbolo $\log$ por sí misma y sin otras convenciones, no tiene sentido, al igual que la palabra "logaritmo".

La frase "logaritmo de $x$ a la base $b$ "tiene sentido si $b$ y $x$ son positivos. El significado se define como sigue: el logaritmo de $x$ a la base $b$ (indicada por $\log_{b} (x)$ ) es el exponente al que $b$ debe elevarse para obtener $x$ .

Es decir, si $y = \log_{b} (x)$ entonces $x = b^y$ .

Por convención, el "logaritmo natural" es el logaritmo en base $e$ , donde $e$ es la constante de Euler: $$ \ln(x) = \log_{e}(x). $$

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