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Honesta aplicación de la teoría de la categoría

Creo que la categoría de la teoría es uno de los la mayoría de las teorías fundamentales de las matemáticas, y se está convirtiendo en una teoría fundamental para otras ciencias. Nos permite comprender muchos de los conceptos en un alto, unificada nivel. Categórica métodos son de carácter general, pero por supuesto que se puede aplicar a categorías específicas, y por lo tanto nos ayudan a resolver problemas específicos. Yo soy no pidiendo canónica de aplicaciones en las que la categoría de la teoría se utiliza. He leído todas las respuestas similar a la de las matemáticas.SE pregunta sobre las aplicaciones de la categoría de teoría, pero que no se adaptan a mi siguiente pregunta. Me gustaría preguntar por las aplicaciones de las nociones de "categoría", "functor", y "transformación natural" (tal vez también "límite" y "contigüidad") , que van más allá de las descripciones, pero en realidad la solución de problemas específicos en una forma elegante. Soy consciente de muchas, muchas pruebas de teoremas que tienen la categoría de la teoría de mejoras, en particular por medio de la Yoneda Lema, pero yo no estoy buscando este tipo de aplicaciones. Así que mi pregunta es (aunque sé que esto no es la tarea de la categoría de la teoría de la):

Puede que el nombre específico y bastante fáciles de entender teorema, cuya declaración, naturalmente, no contiene ninguna categórica nociones, pero cuya prueba se introduce una categoría adecuada / functor / transformación natural en una forma crucial y usos básicos de la categoría de la teoría? La prueba no sólo debe depender de una gran teoría (como la aritmética geometría), cuyo desarrollo se ha utilizado la categoría de teoría a lo largo de décadas. La prueba no debe ser sólo una categoría de la versión de prueba que ya era conocido.

Así que aquí está un ejemplo de este tipo, tomado de Hartig maravilloso de la ponencia "La Representación de Riesz Teorema Revisited", y esperemos que haya más de ellos: Vamos a $X$ ser un compacto Hausdorff espacio, $M(X)$ el espacio de Banach de medidas de Borel en $X$$C(X)^*$, el doble del espacio de Banach de funciones continuas en $X$. La integración proporciona una isometría lineal $$\alpha(X) : M(X) \to C(X)^*, ~ \mu \mapsto \bigl(f \mapsto \int f \, d\mu\bigr).$$ La Representación de Riesz Teorema afirma que esto es un isomorfismo. Para el "categórico" a prueba, observar que los mapas de $\alpha(X)$ son en realidad natural, es decir, proporcionar una transformación natural $\alpha : M \to C^*$. El uso de connaturalidad y los hechos de análisis funcional, tales como el de Hahn-Banach Teorema, una muestra de que si $X$ satisface la demanda y admite un surjective mapa a$Y$, $Y$ satisface la demanda. Ya que cada compacto de Hausdorff espacio es el cociente de una extremally desconectado espacio, a saber, la de Stone-Cech-compactification de su conjunto subyacente, por consiguiente, se puede suponer que $X$ es extremally desconectado. Ahora aquí viene la real de las matemáticas, y me limitaré a decir que hay suficiente clopen subconjuntos que le permiten construir suficiente funciones continuas. El caso general se ha reducido a un muy fácil, usando el concepto de la transformación natural.

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tolomea Puntos 286

¿Hace la siguiente prueba estándar del teorema de punto fijada de Brouwer para el Conde de #% de dos dimensiones disco %#%?

Teorema. Cualquier continua mapa $D$ tiene un punto fijo.

De la prueba. Si $f : D \to D$ no tenido ningún punto fijo, el mapa $f$ dado por el rayo de #% de #% % de $g : D \to \partial D$ $g(x) = \partial D \cap ($ sería una contracción de $f(x)$ en $x)$, es decir, $D$ $\partial D$ Dónde está la inclusión. Esto implica, por objetivo de $g \circ i = 1_{\partial D}$, que $i : \partial D \to D$ que es imposible desde $\pi_1$, $g_\ast \circ i_\ast = 1_{\pi_1(\partial D)}$.

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Maciej Piróg Puntos 71

Un buen ejemplo desde el área de ciencias de la computación sería John C. Reynolds "Polimorfismo no es conjunto teórico" (disponible aquí: https://hal.inria.fr/inria-00076261/document). El punto es que de segundo orden, $\lambda$- cálculo no se ha establecido la teoría de modelos (hay una definición natural en el papel de lo que significa ser "conjunto teórico").

Es la prueba por contradicción: asumimos la existencia de un conjunto teórico del modelo, lo que nos permite definir una primera $T$-álgebra $\mu T$ donde $T$ $\mathbf{Set}$- endofunctor:

$$TX = (X \to \mathbb B) \to \mathbb B$$

para un conjunto $\mathbb B$$|\mathbb B| \geq 2$. Lambeck del lema dice que la acción de este inicial álgebra es un isomorfismo, por lo tanto

$$|\mu T| \cong |(\mu T \to \mathbb B) \to \mathbb B|$$

lo que obviamente es una contradicción.

La prueba está dirigida por la categoría de "enfoque" en el concepto de initiality, y por lo tanto tiene una muy categórica sensación, aunque no hay nada categórico en la formulación del teorema o la definición de lo que significa ser conjunto teórico.

11voto

Marco Vergura Puntos 2600

Aquí es un ejemplo muy clásico, probablemente. Espero que se cuenta para sus propósitos!

La proposición. El grupo fundamental de un grupo topológico $(G,\ast,e)$ es abelian.

Prueba. El grupo fundamental de la $\pi_{1}$ es un functor de espacios topológicos de los grupos que conserva los productos, por lo que envía a los objetos de grupo en grupo de objetos. Un grupo topológico es un grupo en la categoría de espacios topológicos y es entonces enviado a través de $\pi_{1}$ a un objeto de grupo en la categoría de grupos, es decir, a un grupo abelian.

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Matt Dawdy Puntos 5479

Aquí hay dos pruebas que ambas implican reconocer que una categoría grande es el ind - o pro-categoría de menor categoría y, a continuación, probar algo acerca de la categoría más pequeña para conseguir por el más grande de la categoría.

Teorema: El Pontryagin dual $\text{Hom}(A, S^1)$ de una torsión grupo abelian $A$ es un profinite abelian grupo y viceversa; estos dos mapas son inversos el uno al otro en clases de isomorfismo.

Prueba. Vamos a ser un contravariante de equivalencia de categorías. La categoría de torsión abelian grupos es la categoría de $\text{Ind}(\text{FinAb})$ de ind-los objetos finitos abelian grupos, mientras que la categoría de profinite abelian grupos es la categoría de $\text{Pro}(\text{FinAb})$ de los pro-los objetos finitos abelian grupos, por lo que es suficiente para mostrar que Pontryagin la dualidad es un contravariante de la equivalencia de las categorías de $\text{FinAb}$ a sí mismo. Pero esto es claro: el Pontryagin doble de lo finito grupo cíclico $C_n$ orden $n$ (noncaonically) $C_n$ más, y la dualidad de Pontryagin respeta directa sumas. $\Box$

Teorema (de Piedra del teorema de representación): Cada anillo Booleano $B$ es el anillo Booleano $\text{Hom}(X, \mathbb{F}_2)$ de clopen subconjuntos en un profinite espacio de $X$, la Piedra espacio de $\text{Hom}(B, \mathbb{F}_2)$$B$.

Prueba. Vamos a ser un contravariante de equivalencia de categorías. La categoría de anillos Booleanos es el ind-categoría de finito Booleano anillos, mientras que la categoría de profinite espacios es el de la pro-de la categoría de conjuntos finitos, por lo que es suficiente para mostrar que la toma de funciones continuas a $\mathbb{F}_2$ resp. tomando la Piedra que el espacio es un contravariante de la equivalencia de las categorías de finito Booleano anillos finitos conjuntos. Pero es sencillo demostrar por inducción sobre la cardinalidad de cada finito Booleano anillo es $\mathbb{F}_2^X$ para un conjunto finito $X$ y que ha Piedra espacio $X$. $\Box$

1voto

tcamps Puntos 2107

Usted puede probar el Lema de Poincaré por la reducción de la categóricamente/homotopy-en teoría, para el caso de un punto. Prueba: (re-)el estado de Poincaré lema (cada forma cerrada en un contráctiles subdominio de $\mathbb{R}^n$ es exacto) como una declaración acerca de De Rham cohomology, y demostrar que el De Rham cohomology functor envía homotopy equivalencias de isomorphisms. Creo recordar que el aprendizaje de la Poincaré lema antes de aprender acerca de homotopy invariancia, pero al parecer no es necesario ir en ese orden.

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