Secuencia espectral para la informática la homotopía puntos fijos en la teoría de homotopía equivariante inestable

Question

Estoy leyendo Carlsson "Una encuesta de equivariant homotopy teoría" y tengo una pregunta.

Deje $G$ ser un grupo topológico y $X$ $G$- espacio (para una buena noción de "espacio"). Él define

$$X_{hG}=EG\times_G X$$ el homotopy espacial en órbita, y

$$X^{hG}=F(EG,X)^G$$ el homotopy punto fijo en el espacio.

Él afirma que no hay espectral de secuencias

$$E^2_{p,q}=H_p(G;H_q(X))\Rightarrow H_{p+q}(X_{hG})$$

y

$$E_2^{p,q}=H^{-p}(G;\pi_q(X))\Rightarrow \pi_{p+q}(X^{hG}).$$

Ahora, si no me equivoco, el primero sigue de la Serre espectral de la secuencia aplicada a la Borel fibration $X\to X_{hG}\to BG$ (tomar el haz de fibras con fibra de $X$ asociado a la acción de la $G$ $X$ y a las $G$-principal paquete de $EG\to BG$).

Pero ¿de dónde viene el segundo?

Answer 1

Debe ser un caso especial de la secuencia espectral de Bousfield-Kan para límites de homotopía. Se puede pensar como una "Grothendieck espectral secuencia" asociada a "functors derivados" de tener puntos fijos y tomar $\pi_0$ (que son, respectivamente, tomando puntos de homotopía fijo / grupo de cohomología y teniendo grupos de homotopía).