Vector fila vs. Vector columna

Question

Soy estudiante de un curso de álgebra lineal elemental. Sin criticar a mi profesor, debo decir que es muy malo respondiendo a las preguntas, y que a menudo no responde a la pregunta en sí. A lo largo del curso, ha habido múltiples preguntas que han quedado sin respuesta, pero debo tener la respuesta a esta pregunta.

"¿Por qué algunos vectores se escriben como vectores fila y otros como vectores columna?"

Entiendo que si transpongo una, se convierte en la otra. Sin embargo, me gustaría entender el propósito de escribir un vector en un formato determinado.

Tomando ejemplos de mis clases, veo que cuando intento demostrar la independencia lineal de un grupo de vectores, los vectores se escriben como vectores columna en una matriz, y se encuentra la forma reducida de fila.

Otras veces, como al intentar encontrar el producto cruzado o simplemente al resolver una matriz, veo los vectores escritos como vectores fila.

Mi profesor es muy vago en las anotaciones y explicaciones, y me molesta como persona que necesita saber la razón detrás de cada pequeña cosa, por qué se produce esta variación en el formato. Cualquier aportación se agradece mucho.

Answer 1

En un sentido, se puede decir que un vector es simplemente un objeto con ciertas propiedades, y no es ni una fila de números ni una columna de números. Pero en la práctica, a menudo queremos utilizar una lista de $n$ coordenadas numéricas para describir un $n$ -y llamamos vector a esta lista de coordenadas. La convención general parece ser que las coordenadas se enumeran en el formato formato conocido como columna vector, que es (o al menos, que actúa como) un $n \times 1$ matriz.

Esto tiene la agradable propiedad de que si $v$ es un vector y $M$ es una matriz que representa una transformación lineal, el producto $Mx$ calculado por las reglas habituales de la reglas de multiplicación de matrices, es otro vector (concretamente, un vector columna) que representa la imagen de $v$ bajo esa transformación.

Pero como escribimos sobre todo en sentido horizontal y no siempre es conveniente conveniente enumerar las coordenadas de un vector de izquierda a derecha. Si tienes cuidado, puedes escribir

$$ \langle x_1, x_2, \ldots, x_n \rangle^T $$

lo que significa que el transponer del vector fila $\langle x_1, x_2, \ldots, x_n \rangle$ ; es decir, queremos la comodidad de la notación de izquierda a derecha pero que nos referimos a un vector columna (que es lo que se obtiene al transponer un vector fila). (que es lo que se obtiene al transponer un vector fila). Si estamos no Sin embargo, siendo cuidadosos, podríamos escribir $\langle x_1, x_2, \ldots, x_n \rangle$ como nuestro "vector" y asumir que todo el mundo entenderá lo que queremos decir.

En ocasiones necesitamos las coordenadas de un vector en formato de vector fila, en cuyo caso podemos representarlo transponiendo un vector columna. Por ejemplo, si $u$ y $v$ son vectores (es decir, vectores columna), entonces el producto interno habitual de $u$ y $v$ se puede escribir $u^T v$ evaluado como el producto de a $1\times n$ con una matriz $n \times 1$ matriz. Tenga en cuenta que si $u$ es un vector (de columnas), entonces $u^T$ es realmente un vector de filas y puede (y debe) escribirse legítimamente como $\langle u_1, u_2, \ldots, u_n \rangle$ .

Todo esto se resuelve de manera muy clara y conveniente cuando la gente es cuidadosa y precisa en la forma de escribir las cosas. A un nivel más profundo y abstracto se pueden formalizar estas ideas como se muestra en otra respuesta. (Mi respuesta aquí es relativamente informal, con la intención de dar una idea de por qué la gente piensa en el vector columna como "la" representación de un vector abstracto).

Cuando la gente está no cuidadoso y preciso puede ayudar a decirse a sí mismo a veces que la transposición de una determinada representación vectorial es previsto en un contexto, aunque la persona que escribe esa representación no lo haya indicado.

Answer 2

Para abreviar: los vectores columna viven en digamos ${\mathbb{R}^n}$ y los vectores fila viven en el dual de ${\mathbb{R}^n}$ que se denota por ${\left( {{\mathbb{R}^n}} \right)^ * } \cong Hom({\mathbb{R}^n},\mathbb{R})$ . Los covectores son, por tanto, mapeos lineales $\alpha :{\mathbb{R}^n} \to \mathbb{R}$ . Si se utiliza la base en ${\mathbb{R}^n}$ y la base en ${\left( {{\mathbb{R}^n}} \right)^ * }$ , entonces para $v \in {\mathbb{R}^n}$ y $\alpha \in {\left( {{\mathbb{R}^n}} \right)^ * }$ con representaciones:

$$\alpha = {\sum\limits_j {{\alpha _j} \cdot \left( {{e^j}} \right)} ^ * }$$ y $$v = \sum\limits_i {{v^i} \cdot {e_i}}$$ nos encontramos con que: $$\alpha (v) = \alpha (\sum\limits_i {{v^i} \cdot {e_i}} ) = \sum\limits_i {{v^i} \cdot \alpha ({e_i}} )$$ $$\sum\limits_i {{v^i}\alpha ({e_i})} = \sum\limits_i {{v^i}{{\sum\limits_j {{\alpha _j} \cdot \left( {{e^j}} \right)} }^ * }({e_i})} = \sum\limits_i {{{\sum\limits_j {{\alpha _j}{v^i} \cdot \left( {{e^j}} \right)} }^ * }({e_i})}$$ $$\sum\limits_i {\sum\limits_j {{\alpha _j}{v^i} \cdot \delta _i^j} } = \sum\limits_k {{\alpha _k}{v^k}} = \left( {{\alpha _1}, \cdots ,{\alpha _n}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v^1}} \\ \vdots \\ {{v^n}} \end{array}} \right)$$ Aquí $\alpha$ es un vector de filas y $v$ un vector de columnas. Tenga en cuenta que $${\left( {{e^j}} \right)^ * }({e_i}) = \delta _i^j = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{i = j} \\ 0&{i \ne j} \end{array}} \right.$$ es el enlace entre un par de bases duales. Utilizando la notación Einstein-Index (como es habitual) tenemos simplemente: $$\alpha (v) = {\alpha _k}{v^k}$$ Se trata de la notación de variantes de co y contra. La misma historia para ${T_p}M$ y $T_p^ * M$ que es Espacio tangente y co-tangente para las variedades tomadas en un punto $p \in M$ . Pero es otra historia.