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Signo unsigned Hecke álgebra canónica base y

Considerar la Hecke álgebra $H_n$ tipo $A_{n-1}$ con el estándar de base $T_w$, $w \in S_n$ con las relaciones cuadráticas $(T_s - u) (T_s + u^{-1}) = 0$ y la trenza de relaciones. El unsigned base canónica $C'_w$, $w \in S_n$ da lugar a una base para la irreductible $H_n$-módulo de $M_\lambda$ forma $\lambda$: corregir algunos SYT $T$ forma $\lambda$; a continuación, esta base es {$C'_w : P(w) = T$} después de quotienting por las células en la parte baja del Kazhdan-Lusztig preorder y $P(w)$ es la inserción de tableau de $w$.

Del mismo modo, $M_\lambda$ tiene una base a partir de la firma del base canónica $C_w$, $w \in S_n$.

Lo que se sabe acerca de la matriz de transición entre estas dos bases? No es la matriz identidad en $u=0$?

Esto parece ser más complicado de entender que el de la matriz de transición entre todas las $C$s y todos los $C'$s. Espero que voy a ser capaz de probar la segunda pregunta por mi cuenta, pero prefiero citar si es en la literatura en algún lugar.

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Adam Puntos 526

Poco parece ser conocido acerca de esta matriz en general, y a ser la identidad en $u=0$. Muestro esto en el papel dualidad cuántica Schur-Weyl y bases canónicas proyectadas http://arxiv.org/abs/1102.1453 usando dualidad cuántica Schur-Weyl y su compatibilidad con las bases canónicas. Esto demuestra sólo en el tipo a. No sé lo que ocurre en otros tipos.

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Jeremy Ruten Puntos 59989

Ya sabes todo esto ya, pero aquí va...

Escriba $C'_w = T_w + \sum_{x < w} p_{x,w} T_x$ donde $p_{x,w} \in u\mathbb{Z}[u]$. Ahora, la otra base puede definirse aplicando el automorphism involutiva $b: \mathcal{H}_n \to \mathcal{H}_n$, dado en $b(T_w)=T_w$ y $b(u)=-u^{-1}$.

Definir $C_w := b(C'_w)$.

Desde entonces, $b$ conmuta con la barra de involución, esta base es invariante, así de la barra.

Explícitamente, $C_w = T_w + \sum_{x < w} (-1)^{\ell(w)+\ell(x)} \bar p_{x,w} T_x$.

Así $C_w = \bar{P}^{-1} P C'_w$ que parece difícil de computar en general.

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