7 votos

Un duro integral

En busca de una solución de una integral: $$I(k)=\int_0^{\infty } \frac{e^{-\frac{(\log (u)-k)^2}{2 s^2}}}{\sqrt{2 \pi } s \left(1+u\right)} \, du .$ $ hasta ahora traté de sustitución y por partes no sirven.

7voto

Arthur B. Puntos 254

El cambio de variable $v = \log u$ indica que estás tratando de integrar la logística-integral normal.

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{v-k}{s}\right)^2}}{\sqrt{2\pi} s} \frac{1}{1+e^{-v}}~\mathrm{d}v$$

Dudo que haya una solución de forma cerrada, y ninguno parece conocida.

Ver http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.372.3781&rep=rep1&type=pdf para la aproximación

$$\left|I(s,k)- \frac{1}{1+e^{-\frac{k}{\sqrt{1+\frac{\pi s^2}{8}}}}}\right| < 0.02$$

y http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0377042712002518 para una discusión más profunda.

2voto

Gazta Puntos 106

Aquí es un comienzo: $I(0) = \frac{1}{2}$

Prueba:

$$I(0) = \int\limits_0^\infty \frac{\exp\left[-\frac{(\log u)^2}{2s^2}\right]}{\sqrt{2\pi} s (1+u)} \rm{d}u$$

Poner $\log u = x$

\begin{align} I(0) &= \int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\exp\left[-\frac{x^2}{2s^2}\right]}{\sqrt{2\pi} s} \frac{e^x}{1+e^x} \rm{d}x \\ &= \int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\exp\left[-\frac{x^2}{2s^2}\right]}{\sqrt{2\pi} s}\rm{d}x - \int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\exp\left[-\frac{x^2}{2s^2}\right]}{\sqrt{2\pi} s} \frac{1}{1+e^x} \rm{d}x \end {Alinee el}

La primera integral es $1$. Llame a la segunda integral $K$. $$K=\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\exp\left[-\frac{x^2}{2s^2}\right]}{\sqrt{2\pi} s} \frac{1}{1+e^x} \rm{d}x$$

Bancos de la gama alrededor de $0$, $$K=\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\exp\left[-\frac{x^2}{2s^2}\right]}{\sqrt{2\pi} s} \frac{1}{1+e^{-x}} \rm{d}x$ $

Ahora tome la media de las dos expresiones,\begin{align} K &=\frac{1}{2}\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\exp\left[-\frac{x^2}{2s^2}\right]}{\sqrt{2\pi} s} \left[\frac{1}{1+e^x}+\frac{1}{1+e^{-x}}\right] \rm{d}x\\ &=\frac{1}{2}\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\exp\left[-\frac{x^2}{2s^2}\right]}{\sqrt{2\pi} s}\rm{d}x\\ &=\frac{1}{2}\\ I(0) &= 1 - K = \frac{1}{2} \end {alinee el}

1voto

Henry Puntos 11

Si $k$ es un entero múltiplo de $s^2$, entonces aparecerá el resultado $I(0)=\frac12$ $I(k)$ de obtener como suma de un número finito de términos.

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