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¿Cuáles son los automorphism grupos de (principalmente polarizada) abelian variedades?

¿Cuáles son los posibles automorphism grupos de una, principalmente, polarizado abelian variedad $(A,\lambda)$ de la dimensión de $g,$ dicen que una abelian superficie ($g=2$) sobre los números complejos o algebraicas cierre de un campo finito? El hecho de que los módulos de la pila de $A_g$ es finito diagonal (más de los enteros) implica que el automorphism a los grupos finitos, pero no sabemos más? Como el tamaño.

Al $g=1$ esto se da en Silverman, I, p.103.

Edit: voy a hacer la pregunta más específica. Deje $(A,\lambda)$ $\mathbb F_q$- punto de $A_g$ (es decir, un abelian variedad $A$ $\mathbb F_q$ de la dimensión de $g$ y un director de la polarización $\lambda$). Queremos considerar su automorphism grupo ($\mathbb F_q$).

Deje $\pi:A_{g,N}\to A_g$ ser la natural proyección, donde $A_{g,N}$ es el de los módulos de la pila de p.p.una.v. de la dimensión de $g$ con un nivel de $N$ estructura (un simpléctica isomorfismo $H^1(A,Z/N)\to(Z/N)^{2g}$). Siempre asumimos $q$ es el primer a $N.$ tenga en cuenta que $\pi$ $G$- torsor, para $G=GSp(2g,Z/N),$ lo que da un surjective homomorphism $\pi_1(A_g)\to G.$ La gavilla $\pi_*\mathbb Q_l$ $A_g$ es lisse (incluso localmente constante), correspondiente a la representación de $\pi_1(A_g)$ obtenido a partir de los regulares de la representación $\mathbb Q_l[G]$ $G$ y la proyección de $\pi_1(A_g)\to G.$ cualquier $\mathbb F_q$punto $x$ $A_g,$ el seguimiento local $\text{Tr}(Frob_x,(\pi_*\mathbb Q_l)_{\overline{x}})$ es $|G|$ o 0, dependiendo de la $Frob_x\in\pi_1(A_g)$ se asigna a 1 en $G$ o no.

Hemos isomorphisms $H^i_c(A_{g,N},\mathbb Q_l)=H^i_c(A_g,\pi_*\mathbb Q_l).$ Por Lefschetz traza fórmula, aplicada tanto a $\mathbb Q_l$ $A_{g,N}$ $\pi_*\mathbb Q_l$ $A_g,$ hemos

$$|A_{g,N}(\mathbb F_q)|=|G|\sum_{x\in S} 1/\#Aut(A_x,\lambda_x),$$

donde $S$ es el subconjunto de a $[A_g(\mathbb F_q)]$ que consiste en puntos de $x$ de manera tal que todos los $N$-torsión puntos de la abelian variedad $A_x$ son racionales sobre $\mathbb F_q$ ( $|A_x[N](\mathbb F_q)|=N^{2g}$ ), y $(A_x,\lambda_x)$ es el par correspondiente a $x.$ Esta ecuación nos da algunas limitaciones (uno para cada una de las $N$ $|Aut(A,\lambda)|$ debe satisfacer. En particular, cuando se $g=N=2$ $q=3,$ tenemos $|A_{2,2}(\mathbb F_3)|=10$ $|G|=720$ (en este caso $G$ es el grupo simétrico $S_6$), y esto se convierte en un rompecabezas de la resolución de $$ 1/72 = \sum 1/n_i, $$ y el $n_i$'s de satisfacer algunas condiciones adicionales. Alguna idea de cómo solucionarlo? Estoy considerando los aportes de las dos partes en $A_2,$ uno de Jacobians de suave género 2 curvas y uno para Jacobians de estable singular $E_1\times E_2$. Cualquier sugerencia se agradece.

Edit: tal vez es más fácil resolverlo por $\mathbb F_5,$ desde el (órdenes) de los automorphism grupos de suave género 2 curvas sobre campos finitos de carácter 5 es conocido.

15voto

DavLink Puntos 101

El estándar de prueba de la finitud va como sigue: la polarización se define un positivo involución * en el endomorfismo de álgebra, y así los automorfismos son los elementos de la Final(A) tensor de la reales de los que están en el Extremo(A) y satisfacer a*a=1. Así el conjunto de automorfismos es la intersección de un conjunto discreto y un conjunto compacto. Vamos phi(n) ser el grado de la esfera se obtiene mediante junto a una raíz enésima de 1 a P. Entonces, ciertamente, existen abelian variedades de dimensión g en el que las raíces enésimas de la ley 1 si la phi(n) divide 2g (para cualquier CM-campo E hay un abelian variedad con complejo de la multiplicación por Correo). Sin embargo, a diferencia de la curva elíptica caso, hay otras posibilidades.

10voto

Torsten Ekedahl Puntos 19351

Si empezamos con el mismo problema a través de los números complejos, entonces la automorphism grupos de principalmente polarizado abelian variedades de dimensión $g$ son exactamente los estabilizadores de $\mathrm{Sp}_{2g}(\mathbb Z)$ en su acción en la Siegel mitad superior del espacio de $\mathbb H_g$. Estos son los grupos finitos y es un hecho general de que un determinado subgrupo de $\mathrm{Sp}_{2g}(\mathbb Z)$ corrige un punto de $\mathbb H_g$. Por lo tanto la respuesta en ese caso es que el automorphism los grupos son exactamente la máxima finito subgrupos de $\mathrm{Sp}_{2 g}(\mathbb Z)$. Note that just as for $\mathrm{SL}_g(\mathbb Z)$ (que es un subgrupo de $\mathrm{Sp}_{2g}(\mathbb Z)$) la clasificación de tales subgrupos finitos rápidamente se convierte en untractable (para aumentar el $g$).

Si tratamos de utilizar esto para obtener cotas inferiores para el caso cuando la base es de campo el cierre de $\mathbb Z/p$ podemos empezar con un par de $(A,G)$ de una p.p.una.v. y un grupo finito $G$ de automorfismos sobre un campo de característica. Podemos entonces (después apropiadamente el cambio de campos) suponga que el campo base es la fracción campo de un DVR $R$ de la mezcla con carácter finito de residuos del campo de característica $p$ y $A$ semi-estable de reducción sobre la $R$. La acción de $G$ se extiende y conseguimos $G$ como un subgrupo de la automorphism grupo de un semi-abelian variedad con un director de polarización de la abelian parte de característica $p$. Tenga en cuenta que si $G$ es grande (para algunos definición de "grande") a continuación, la reducción es necesariamente un abelian variedad como la automorphism de un buen semi-abelian variedad es "más pequeño". Esto debería dar un montón de características $p$ ejemplos.

Sin embargo, esto no va a conseguir todo lo que ya hay (ya que en el caso de $g=1$) pares de $(A,G)$ que no levante a la característica $0$. No obstante, de dar todo tales pares para que el orden de $G$ es el primer a $p$. En principio debería ser posible para resolver el problema con el enfoque propuesto en Milne respuesta. Sin embargo, creo que hay un problema (aparte del hecho de que el problema algebraico rápidamente se vuelve intratable) en que es un tanto complicado, el problema de la figura qué pares que consiste en un Rosati la involución y de un orden estable en el isogeny álgebra son realizables por el director polarisations. Todavía hay algunos construcciones que pueden ser utilizados: Uno puede tomar el producto de dos principalmente polarizado automorphism grupo. También se puede tensor de un principalmente polarizado AV con una positiva definida unimodular hermitian la forma sobre el endomorfismo anillo con el Rosati involución. La última incluye la partida con un resultado positivo la integral definida unimodular forma de rango $g$, y darse cuenta de su automorphism grupo como el automorphism grupo de producto de $g$ copias de cualquier elíptica de la curva. Comenzando con una supersingular de curva elíptica, probablemente, dar más grandes ejemplos.

El problema para finito de los campos en lugar de la clausura algebraica de incluso uno de ellos es más impredecible.

7voto

Geoff Dalgas Puntos 2023

Grushevsky del papel de la GEOMETRÍA DE la Ag Y de SUS COMPACTIFICATIONS, observación 2.9 bocetos por qué la diagonal de A_g es finito; tal vez usted puede hacer que la prueba eficaz?

3voto

Chris Farmer Puntos 10681

Si corregir las 2-torsión puntos, entonces todo lo que tienes es el x->-x involución; por lo que Z/2 veces SP_2g(2) es un enlace de arriba. Por otro lado, si usted toma Un ser g-fold "poder" de algunos de curva elíptica, creo que se entiende bastante cerca de esta obligado.

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