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Es $M=\{(x,|x|): x \in (-1, 1)\}$ no es una variedad diferenciable?

Deje $M=\{(x,|x|): x \in (-1, 1)\}$. Entonces no es un atlas con sólo una coordenada gráfico de $(M, (x, |x|) \mapsto x)$$M$. No necesitamos ninguna transformación de coordenadas de los mapas que preocuparse de differentiablity. Así que pensé $M$ es una variedad diferenciable. Sin embargo, mi profesor dice que no lo es. Él dice que el ángulo agudo en $x = 0$ es un problema. No puedo entender por qué es un problema.

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rck Puntos 121

Para agregar a lo que joriki escribió y lo que algunas personas expresadas en los comentarios: el problema real radica en ciertas implícita de la información/suposición de que usted está haciendo. El problema es que sólo han especificado $M$ como establece explícitamente, y a preguntar si un objeto es una variedad diferenciable requiere especificar también la topológico y suave estructuras! En general, existen dos definiciones de suave colectores que veo en los libros de texto:

  • Intrínseca de la definición de Un suave colector es topológico, colector equipado con un atlas cuyos mapas de transición son lisas. En este caso, la suave estructura se da explícitamente diciendo que una función definida en el colector es suave si es suave en cada gráfico perteneciente al atlas.
  • Extrínseca de la definición de Un suave colector se define como un suave submanifold de algunas ambiente el espacio Euclidiano (generalmente a través de una definición de función). En este caso, la suave estructura está dado por decir que una función definida en el colector es suave si es la restricción de una función uniforme en el espacio ambiente.

Su respuesta utiliza intrínseca de la definición: la construcción de un atlas basado en la homeomorphism de su conjunto (como un subespacio topológico de $\mathbb{R}^2$) a la apertura de la unidad de intervalo. Su profesor de respuesta implícitamente depende de heredar no sólo la estructura topológica de $\mathbb{R}^2$, pero también la suave estructura, por lo que se basa en la definición extrínseca.

Para ser realmente pedante, como declaró la pregunta no puede ser respondida, ya que ningún candidato para una suave estructura dada. En esencia, usted interpreta la pregunta para decir que "Dado este espacio topológico $M$, podemos darle un suave estructura?", mientras que su maestro interpretado la pregunta significa "Dado el subespacio topológico $M\subset \mathbb{R}^2$, es un suave submanifold?" Por lo tanto la diferencia de dos respuestas que se espera desde hace dos preguntas son tratadas.


Para ilustrar el problema: un examen común cuestión es preguntar

Es el perforado plaza cerrada $[-1,1]\times[-1,1] \setminus \{(0,0)\} \subset \mathbb{R}^2$ un suave manifold con frontera?

La observación de que si sólo se inducen en la plaza de la topología del ambiente el espacio Euclidiano, entonces usted puede razonar así: usted puede explícitamente la construcción de un homeomorphism de nuestro perforado plaza cerrada a la mitad superior del plano, por lo que podemos tomar como una sola coordinar gráfico y dar al conjunto de la estructura de un buen colector compatible con la topología inducida por. Pero si quieres la suave estructura también se pueden heredar....


Pero a diferencia de joriki, yo diría que en el contexto de su maestro es la respuesta más razonable. Esto es debido a que mediante el local homeomorphism de cualquier topológico colector para Euclidiana espacios, puede siempre prescribir local diferenciable estructuras en cualquier topológica del colector. La obstrucción de un topológico colector a ser suave, es muy esencialmente global (y algo tangencialmente relacionado es el hecho de que la obstrucción es en el nivel de la primera derivada sólo), y la existencia de nondifferentiable topológico colectores realmente no es tan fácil de demostrar. Por otra parte, también se sabe que cualquier topológico colector en las dimensiones 1, 2 y 3 admite una (única) compatible suave de la estructura, por lo que en vista de que (y tampoco demasiado fácil) resultado, la cuestión se vuelve vacía, si usted elige para interpretar la forma que lo hizo.

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JiminyCricket Puntos 143

Estás en lo correcto. Lo que el maestro puede estar tratando de decir es que la estructura diferenciable que está definiendo no es inducida por la estructura diferenciable de $\mathbb R^2$ en el que su colector está incrustado. Si la curva no tiene una esquina, no sería una estructura diferenciable en lo que es compatible con la estructura diferenciable de $\mathbb R^2$.

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