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¿Cuál es la operación inversa de los exponentes?

Ya sabes, como la adición es la operación inversa de la sustracción, viceversa, la multiplicación es la inversa de la división, viceversa , el cuadrado es la inversa de la raíz cuadrada, viceversa.

Cuál es la operación inversa de los exponentes (exponentes: 3^5)

46voto

MathematicalOrchid Puntos 2113

La suma y la multiplicación son conmutativas, por lo que sólo hay un función inversa.

Los exponentes no son conmutativos; $2^8 \not= 8^2$ . Así que necesitamos dos diferentes funciones inversas.

Dado $b^e = r$ tenemos el " $n$ operación "raíz", $b = \sqrt[e] r$ . Resulta que en realidad se puede escribir como un exponente propio: $\sqrt[e] r = r^{1/e}$ .

De nuevo, teniendo en cuenta $b^e = r$ tenemos $e = \log_b r$ La "base" $b$ logaritmo de $r$ ".

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¿Tiene la división una sola función inversa? 8/4 != 4/8 después de todo.

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8/4 y 4/8 tienen una relación numérica simple. (Uno es 2/1, el otro es 1/2.) Mientras que 2^8 y 8^2 no tienen una relación especialmente sencilla (256 y 64, respectivamente.) Hay que reconocer que no lo he explicado muy bien...

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Buen material, no se puede expresar "raíz enésima" en Excel, pero se puede expresar x^(1/n) sin problemas. Esto se vuelve doblemente interesante si el exponente es, por ejemplo, 1,26

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Travis Puntos 30981

Estas funciones son las siguientes logaritmos y son fundamentalmente importantes. Para $a = b^c$ (donde $b > 0$ ) escribimos: $$c = \log_b a,$$ que podemos tomar como la definición de $\log_b$ . Leemos la operación como "logaritmo, base $b$ ," o "base $b$ logaritmo".

En particular, tenemos $$\log_a (a^b) = b \qquad\text{and}\qquad a^{\log_a b} = b.$$ De especial interés es el logaritmo natural , denotado por $\ln$ o $\log$ el logaritmo de base $e$ . (Nota: a veces $\log$ también puede denotar la base $10$ o base $2$ dependiendo del contexto).

Las identidades logarítmicas se corresponden con las exponenciales. Por ejemplo, de la definición podemos concluir que $$\log_b (pq) = \log_b p + \log_b q$$ (para $p, q > 0$ ), que corresponde a la identidad $b^{pq} = b^p b^q$ .

Tal vez de manera contraintuitiva, a veces es conveniente definir primero el logaritmo natural y luego definir la función exponencial $x \mapsto e^x$ para ser su inverso, lo que lleva al nombre ligeramente anticuado antilog para una función exponencial $x \mapsto b^x$ .

Editar Algunas de las otras respuestas aquí señalaron muy acertadamente que también se puede preguntar por la inversa de las funciones donde la variable está en la base, es decir, las funciones $x \mapsto x^a$ y las inversas de estas funciones $^*$ (al menos cuando $a > 0$ ) son sólo $x \mapsto x^{1/a}$ que a menudo escribimos como $x \mapsto \sqrt[a]{x}$ . Estas funciones se denominan funciones de potencia (nótese que la inversa de una función potencia es de nuevo una función potencia), y reservamos el nombre función exponencial para las funciones $x \mapsto b^x$ donde la variable está en el exponente, es decir, aquellos a los que los logaritmos son inversos.

$^*$ Para algunos $a$ (en particular, los enteros pares), necesitamos restringir el mapa $x \mapsto x^a$ a $[0, \infty)$ para tomar una inversa.

3 votos

Las otras respuestas eran buenas, pero tu respuesta es la que mejor me ha explicado.

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¿Qué pasa con el ejemplo del post? ¿Cuál es entonces la función inversa? ¿3^(1/5) o 'logaritmo de base 3 de 243'? ¿Cómo puedo saber sólo viendo la función cuál es la variable aquí?

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Ese es realmente el punto de la edición: ¿La pregunta se refiere a la inversa de $x \mapsto 3^x$ o la inversa de $x \mapsto x^5$ ? Sólo por la expresión $3^5$ por sí sola no hay forma de saberlo, al igual que cuando se pregunta por una función cuya evaluación produce la expresión $1 + 2$ no indica si la pregunta es sobre la función $x \mapsto x + 2$ o $x \mapsto 1 + x$ . Como puedes ver en la pregunta, inicialmente entendí que OP preguntaba por $x \mapsto 3^x$ ya que se trata de un exponencial función, y el OP preguntó sobre la "operación inversa de los exponentes".

17voto

Zenadix Puntos 171

Hay dos operaciones inversas de la exponenciación.

Logaritmo

$$ \log _{b} a $$

Se lee "base- $b$ logaritmo de $a$ ". Y significa "el exponente que $b$ para que el resultado sea $a$ ".

Raíz

$$ \sqrt[b] a $$

Es leer " $b$ -raíz de $a$ ". Y significa "el número que, elevado a $b$ , produce $a$ ".

11voto

Depende de lo que veas como la función y lo que la variable en $3^5$ .

Generalizar su "El cuadrado es la inversa de la raíz cuadrada" lleva a que los exponentes recíprocos sean la inversa de los exponentes, por lo que $3^5 = 243$ corresponde a $3 = 243^{1/5}$ .

Alternativamente $3^5 = 243$ corresponde a $5 =\log _{3} 243 = \frac{\log _{10} 243}{\log _{10} 3}= \frac{\log _{e} 243}{\log _{e} 3} $ utilizando logaritmos.

8voto

jcalfee314 Puntos 99

Logaritmos: $$10^x = 100 \iff x=\log _{10} 100 = 2$$

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