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"Real" de la cardinalidad, dicen, $\aleph_\pi$?

¿Hay alguna definición significativa a pagar por $\aleph_r$ (como en el cardinalidad) donde $r\in\mathbb{R}^+$? $r\in\mathbb{C}$? ¿Qué acerca de la $\aleph_{\aleph_0}$? Podemos repetir este? $\aleph_{\aleph_{\aleph_{\cdots}}}$

Me pueden tirar montón de bastante ingenuo/preguntas básicas, para que yo no he aprendido mucho acerca de infinito cardinalidades. Si me refiero a montón de cosas abundantemente tratado en áreas establecidas, por favor ponerse en el punto de salida.

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DanV Puntos 281

El $\aleph$ números son bien ordenados. Esto significa que cada conjunto no vacío tiene un mínimo elemento. Además, son linealmente ordenado.

Esto significa que cualquier indexación impuestas deben tener por lo menos estas dos propiedades. Los números reales no son bien ordenado (considerar el subconjunto $(0,1)$, o incluso el $\mathbb R$) y el de los números complejos no son ni siquiera pedir en cualquier sentido natural.

La idea detrás de tener un buen orden es decir, ¿cuál es el siguiente cardinalidad. Dado un conjunto, podemos decir fácilmente lo que es el menos$\aleph$, que es más grande. En los números naturales (y su generalización, los ordinales) tenemos una función sucesor que hace que, por lo que es un buen terreno para su uso cuando la indexación de cardinalidades. No tenemos un buen sucesor función de los números reales, o por cualquier densa orden para una cuestión de hecho.

Es posible tener $\aleph_{\aleph_0}$, pero hay un pequeño problema aquí. $\aleph_0$ es la notación discutiendo tamaño, mientras que $\aleph_\alpha$ es el cardenal que los cardenales a continuación se tiene el tipo de la orden $\alpha$. Así que escribimos $\aleph_\omega$ donde $\omega$ es el menos infinito ordinal. Este es un límite cardenal, lo que significa que no es sucesor de ningún cardenal --, pero hay menor $\aleph$'s, sin embargo.

Por supuesto, esto puede ser reiterado, pero tenemos que utilizar el ordinal forma, en lugar del cardenal forma. Es decir, cada $\aleph$ número también es un ordinal. $\aleph_\alpha$ es la realidad, el ordinal $\omega_\alpha$, donde estos ordinales se define recursivamente como ordinales que se $(1)$ infinito; $(2)$ no tiene una inyección en cualquier menor ordinal. Lo de menos es $\aleph_0$ y es la cardinalidad de los números naturales, que es el ordinal $\omega$.

Así que si queremos recorrer, $\aleph_0\to\aleph_{\aleph_0}\to\aleph_{\aleph_{\aleph_0}}\to\dots$ que realmente necesitamos hacer es la siguiente: $$\aleph_0\to\aleph_{\omega}\to\aleph_{\omega_\omega}\to\ldots$$


Que ha dicho, sin el axioma de elección es coherente tener conjuntos cuya cardinalidad es no un $\aleph$ número, es decir, establece que no puede ser bien ordenado. Es coherente que no es una colección de conjuntos que es ordenado (por inclusión) como los números reales, y no hay dos conjuntos tienen la misma cardinalidad (no hay bijection entre dos conjuntos distintos).


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