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La Teoría cuántica de campos, desde un punto de vista matemático

Soy un estudiante de matemáticas con no mucho de fondo en la física. Estoy interesado en el aprendizaje de la teoría Cuántica de campos, desde un punto de vista matemático.

Hay buenos libros u otro material de referencia que puede ayudar en el aprendizaje acerca de la teoría del campo cuántico? ¿En qué áreas de las matemáticas debería conocer antes de la lectura sobre la teoría del campo Cuántico?

32voto

Cercerilla Puntos 728

Si eres matemático y quieres entender QFT, vas a tener que lidiar con renormalization tarde o temprano. Tu vida será más fácil si usted entiende desde el principio que el de Wilson-Weinberg-etc efectiva de la teoría de campo de la filosofía, es esencial el principio de organización para la totalidad del tema. En particular, usted va a necesitar saber para tener alguna esperanza de que la comprensión de la intuición detrás de la existente riguroso construcciones de QFTs. Por desgracia, las explicaciones de renormalization en la física de partículas orientadas a los libros de texto que los matemáticos a menudo, consulte primero no son tan grandes.

Tal vez me puede dar un poco de motivación, antes de añadir a la lista de lecturas recomendadas.

En un sistema con un número infinito de grados de libertad (tales como la teoría del campo en un espacio-tiempo de la dimensión de al menos 2), es necesario organizar a los grados de libertad de alguna manera, incluso antes de que pueda empezar a hablar acerca de cómo interactúan. En QFT, solemos organizar los grados de libertad preguntando cuán grandes son, en comparación con algunos fija la escala de distancia. (La descomposición de Fourier del campo electromagnético es un ejemplo de esto. Pensamos que el campo electromagnético como una suma de sin/cos ondas de diferentes longitudes de onda.) Así que cuando hablamos de una teoría de campo, lo que realmente tenemos en mente es una secuencia de aproximaciones, que comienza con un conjunto de grados de libertad, cuya característica es la escala comparable a la escala de referencia y, a continuación, de forma sistemática, añade nuevos, cuya característica escalas están más lejos de nuestra escala de referencia.

La idea básica de la teoría de campo de la filosofía es que, en lugar de pensar de los grados de libertad, podemos utilizar cerca de la escala de referencia como los que quedan cuando nos lanza a todos los demás, debemos pensar en estos grados de libertad como un aproximado de "eficaz" descripción del sistema obtenemos por promediar los otros grados de libertad. Si usted toma este punto de vista, que con frecuencia va a encontrar que los grados de libertad en la escala de referencia ¿se asemejan a los que le han metido por ciegamente ignorando la distancia más corta grados de libertad, y de sus interacciones tienen la misma forma básica, excepto que las constantes de acoplamiento son todos diferentes. El renormalization procedimiento que se muestra en todo QFT se preocupa por la computación de cómo las interacciones entre los grados de libertad en la escala de referencia se determinan en términos de las interacciones entre los grados de libertad apropiados a corta distancia, en particular con averiguar que las interacciones más fuertes y que más débil.

Este philsophy tiene sus orígenes en la mecánica estadística, la que a menudo se descuida tercera pata de la QFT heces. (La ruta integral de QFT está estrechamente relacionada con la función de partición cálculos que se muestran en la mecánica estadística de sistemas de campo.) Si usted quiere entender QFT, usted tiene que estudiar QM, la relatividad, y stat mech. El stat mech no es realmente opcional.

Un par de referencias:

  • Tim Hollowood "Atajos Y Continuidad Límites: Un Wilsonian Enfoque de la Teoría de Campo" es una excelente introducción.

  • Kerson Huang Mecánica Estadística tiene un buen tratamiento del modelo de Ising, que es prácticamente el ur-ejemplo del sujeto.

  • Zinn-Justin QFT y Fenómenos Críticos que funciona a través de estas ideas en una gran cantidad de detalle.

  • David Brydges "Conferencias sobre la Renormalization Grupo" en las NIC/Parque de la Ciudad de volumen de la Mecánica Estadística es bastante grande.

  • La batalla del "Wavelets Y Renormalization" hace un minucioso y matemáticamente riguroso tratamiento de la Euclidiana ruta integral para 3d escalar la teoría de campo, muy en el espíritu de la renormalization filosofía.

  • Glimm & Jaffe la "Física Cuántica: Una Funcional Integral del Punto de Vista", explica mucho de la matemática de la maquinaria como la nuclear espacios y cilindro de medidas que pueden ser utilizados para hacer efectiva la teoría del campo idea matemáticamente preciso, y utiliza esta maquinaria para constructivo 2d escalar campo de las teorías y probar algunos no trivial hechos acerca de ellos.

20voto

Joakim Bodin Puntos 161

Hay dos aspectos de esta cuestión:

1) cuáles son las fuentes Que tratan de comunicar los habituales vaga y especulativa de la historia de la física de una manera que los matemáticos son más propensos a apreciar?

2) Que las fuentes de intentar dar un real tratamiento matemático de QFT, algo que vive para las matemáticas?

Para la primera, Deligne et al Cuántica de Campos y Cuerdas es, probablemente, la mejor respuesta existente hasta la fecha.

Pero no hay mucho que decir sobre la segunda pregunta, también. Mucho progreso se ha hecho en los últimos años. Este mes de diciembre (2011) un AMS volumen aparece que recoge las encuestas y artículos originales sobre este tema:

Sati, Schreiber (eds.) Fundamentos matemáticos de la Teoría Cuántica de campos y Perturbativa de la Teoría de cuerdas AMS (2011) Actas de Simposios en las Matemáticas Puras, Volumen: 83.

La introducción con más enlaces es a arXiv:1109.0955

[Edit: en vista de la discusión a continuación, debo decir que no me refiero a los "vagos y especulativo" en un peyorativo en absoluto. Simplemente es un hecho que, desde el punto de vista de las matemáticas, tanto de la física, sin duda mucho de la teoría cuántica de campos y la teoría de las cuerdas, bien establecido y robusto como puede ser, es vaga y especulativo. Para tener una idea de la verdad de esto pueda ayudar a ir a una pura matemático que esté interesado en aprender sobre el tema, pero no tiene antecedentes en él y tratar de enseñar a él o ella. Uno aprende de esto que muchos de los textos escritos por los físicos que dicen que "para los matemáticos" en realidad no son. Hay bastante distancia entre un matemáticamente consciente de los físicos teóricos y un matemático puro, sin antecedentes en la costumbre de física de la historia. Muchos físicos no son conscientes de esta distancia.]

19voto

Philip Hanson Puntos 932

Moshe ya ha abordado muchos puntos. Usted podría estar interesado en Folland de la Teoría Cuántica de campos: un guía turístico para los matemáticos. Él intenta hacer el máximo de cosas posibles en un matemáticamente riguroso de la moda, y señala los puntos donde esto no se puede hacer.

Como para la formación matemática: una cierta familiaridad con parciales de las ecuaciones diferenciales y la teoría de las distribuciones conveniente.

Esto se refiere a la "convencional" de la teoría cuántica de campos. Usted también podría estar interesado en topológico de la teoría cuántica de campos, que es mucho más de un matemático de la naturaleza.

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