7 votos

Donde estaba mi error (integración por trig-sustitución problema)?

Estoy tratando de solucionar el problema

$$\int \frac{dx}{x^2+x+1}$$

En primer lugar, me completar el cuadrado, entonces el factor de una $\frac {3}{4}$:

$$\int \frac{dx}{\frac{3}{4}(\frac{4}{3}(x+\frac{1}{2})^2+1)}$$

Deje $u = \sqrt{\frac{4}{3}}(x+\frac{1}{2})$

$$\frac{du}{dx} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$

$$dx = \frac{\sqrt{3}}{2} du$$

Por lo tanto, ahora tenemos la integral:

$$\frac{4}{3} \frac{\sqrt{3}}{2} \int \frac{du}{u^2+1}$$

Deje $u = \tan \theta$

$$du = \sec^2\theta \ d\theta$$

Lo que sigue es obvio ahora, y la solución debe ser:

$$\frac{4}{3} \frac{\sqrt{3}}{2} \theta + C$$

$$\theta = \tan^{-1}(u)$$

Por lo tanto, la solución final es:

$$\frac{4}{3} \frac{\sqrt{3}}{2} \tan^{-1} \left( \sqrt{\frac 4 3} \left(x+\frac 1 2 \right)\right) + C$$

Sin embargo, de acuerdo a la calculadora en línea integral de la calculadora, la respuesta es:

$$\frac 2 {\sqrt 3} \tan^{-1} \left( \frac{2x+1}{\sqrt 3} \right)+C$$

Ninguna indicación en cuanto a donde mi error cae sería muy beneficioso.

7voto

Dr. MV Puntos 34555

Esta respuesta fue publicado antes de una edición hecha por el OP.

Tenga en cuenta que tenemos

$$x^2+x+1=(x+1/2)^2+3/4\ne \frac34 \left(\frac43 (x+1/2)^2+\frac34 \right)=x^2+2+5/2$$

5voto

Michael Hardy Puntos 128804

Su único error que parece ser una falla a notar que $\displaystyle \frac{4}{3} \frac{\sqrt{3}}{2} \tan^{-1} \left( \sqrt{\frac 4 3} \left(x+\frac 1 2 \right)\right) $ es exactamente lo mismo que $ \displaystyle \frac 2 {\sqrt 3} \tan^{-1} \left( \frac{2x+1}{\sqrt 3} \right).$

Primero usted tiene $$ \frac 4 3 \cdot \frac{\sqrt 3} 2 = \frac{4\sqrt 3}{\sqrt 3\sqrt 3 \cdot 2} = \frac 2 {\sqrt 3}. $$ Y, a continuación, $$ \sqrt{\frac 4 3} \left( x + \frac 1 2 \right) = \frac 2 {\sqrt 3} \left( x + \frac 1 2 \right) = \frac 1 {\sqrt 3} (2x+1). $$

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