Prueba de convergencia de una serie de trigonometic

Question

Prueba las convergencias de las siguientes series

$$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{ \sin n}{\sqrt{n}}$$

Answer 1

Indicar $\theta = 1 + \pi$, $a_n = (-1)^n \sin n = \sin(n \theta)$ y $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$. Para calcular

$$A(x) = \sum_{1 \le k \le x} a_k = \textrm{Im}\left(\sum_{1 \le k \le x} e^{i k \theta}\right) = \textrm{Im}\left(\frac{e^{i (\lfloor x \rfloor +1) \theta}-e^{i \theta}}{e^{i \theta}-1}\right)$ $ Que produce %#% $ #%

Por lo tanto limita $$|A(x)| \le \left|\frac{e^{i (\lfloor x \rfloor+1) \theta}-e^{i \theta}}{e^{i \theta}-1}\right| \le \frac{2}{|e^{i \theta}-1|}$. Utilizando la fórmula de sumación de Abel, puede escribir

$x \mapsto A(x)$$

Puesto que limita $$\sum_{1 \le n \le x} a_n \phi(n) = A(x)\phi(x) - \int_1^x A(x)\phi'(x) \, dx$ y $A$ va a cero en el infinito, puede comprobar que ambos términos en el lado derecho de la expresión anterior tienen un límite en el infinito.